[论文解读] Asymptotic bias of some election methods

Svante Janson|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过将总席位数 $ N $ 视为从 $ 1 $ 到 $ N_0 $ 均匀随机抽取的随机变量，再取 $ N_0 \to \infty $ 的极限，分析了常见配额分配方法（除数法与配额法）的渐近偏差。推导出每名政党实际席位与应有席位之间偏差（即席位过剩）的精确公式，揭示了不同方法对大党或小党的系统性偏向：关键结果表明，杰斐逊/D'Hondt 法倾向于大党，而韦伯斯特/圣拉古法在常规条件下表现出接近零的偏差。

ABSTRACT

Consider an election where N seats are distributed among parties with proportions p_1,...,p_m of the votes. We study, for the common divisor and quota methods, the asymptotic distribution, and in particular the mean, of the seat excess of a party, i.e. the difference between the number of seats given to the party and the (real) number Np_i that yields exact proportionality. Our approach is to keep p_1,...,p_m fixed and let N tend to infinity, with N random in a suitable way. In particular, we give formulas showing the bias favouring large or small parties for the different election methods.

研究动机与目标

• 研究在席位分配偏离完全比例性时，常见配额分配方法（除数法与配额法）的系统性偏差。
• 将席位过剩（实际席位与应有席位之差）建模为随机变量，方法是将总席位数 $ N $ 假设为在 $ 1 $ 到 $ N_0 $ 上均匀分布，再取 $ N_0 \to \infty $ 的极限。
• 推导在固定票数比例下，每名政党席位过剩的渐近均值（偏差）与方差的精确公式。
• 阐明不同方法（如杰斐逊/D'Hondt、韦伯斯特/圣拉古、汉密尔顿/Hare 和杜鲁普）因其数学结构而对大党或小党产生系统性偏向的机制。
• 将结果从随机政党规模推广至固定政党规模但随机席位数的情形，验证偏差模式的稳健性。

提出的方法

• 采用概率模型，其中总席位数 $ N $ 从 $ 1 $ 到 $ N_0 $ 均匀随机选取，并取 $ N_0 \to \infty $ 的极限以定义 $ N $ 的极限分布。
• 定义席位过剩 $ \Delta_i = s_i - p_i N $，其中 $ s_i $ 为政党 $ i $ 获得的席位数，$ p_i $ 为其得票比例。
• 应用单位区间上均匀分布与傅里叶分析的理论，推导席位过剩的渐近分布，特别关注其期望值（偏差）。
• 推导 $ \Delta_i $ 渐近均值的显式公式，揭示其对方法的舍入规则及 $ p_i N $ 的小数部分的依赖关系。
• 引入 $ \alpha $-舍入概念，并利用单位圆上无理旋转的性质，分析不同方法下席位分配的极限行为。
• 证明偏差取决于方法的除数函数以及 $ p_i N $ 小数部分的分布，且在票数比例满足技术性条件（即非有理数）时结果成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在杰斐逊/D'Hondt 与韦伯斯特/圣拉古等除数法下，某政党席位过剩的渐近期望值（偏差）如何随其得票比例 $ p_i $ 变化？
• RQ2 配额法（如汉密尔顿/Hare）是否对大党或小党存在系统性偏向？其与除数法的偏差特性如何比较？
• RQ3 当总席位数 $ N $ 从 $ 1 $ 到 $ N_0 $ 随机抽取且 $ N_0 \to \infty $ 时，给定分配方法下某政党的渐近偏差的精确数学形式为何？
• RQ4 偏差如何随政党规模变化？哪些方法系统性地偏向大党或小党？
• RQ5 在何种条件下渐近偏差趋于零或保持有界？这与票数比例 $ p_i $ 的有理性有何关联？

主要发现

• 杰斐逊/D'Hondt 法（最大除数法）的渐近偏差对所有政党均为正值，且大党所受正偏差更大，意味着其系统性地被过度代表。
• 韦伯斯特/圣拉古法（韦伯斯特法）在技术条件成立时，渐近偏差为零，表明其在常规条件下接近比例代表制。
• 汉密尔顿/Hare 与杜鲁普配额法的偏差非零，且取决于 $ p_i N $ 小数部分的分布，在特定条件下倾向于偏向小党。
• 推导出席位过剩的渐近方差，并证明其对所有方法均为有界的，且其表达式明确依赖于票数比例与方法的舍入规则。
• 该结果不仅适用于随机 $ N $，还可推广至传统模型中固定 $ N $ 但政党规模随机的情形，证实了偏差模式的稳健性。
• 本文证明偏差是票数比例 $ p_i $ 的确定性函数，且当 $ p_i $ 为无理数时，由于单位圆上的等分布性，偏差收敛至一个明确定义的极限。