[论文解读] Asymptotic cohomological functions of toric divisors

Milena Hering, Alex Küronya+1 more|ArXiv.org|Jan 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文证明了toric除子的渐近上同调函数——衡量除子倍数的上同调群增长速率——在实Néron-Severi群的有限多面体腔室分解下是连续的且分段多项式函数。关键贡献在于，通过超平面排列中有界区域的体积，给出了$T$-Cartier除子自交数的公式，并在toric情形下证明了Serre消去的渐近逆定理。

ABSTRACT

We study functions on the class group of a toric variety measuring the rates of growth of the cohomology groups of multiples of divisors. We show that these functions are piecewise polynomial with respect to finite polyhedral chamber decompositions. As applications, we express the self-intersection number of a T-Cartier divisor as a linear combination of the volumes of the bounded regions in the corresponding hyperplane arrangement and prove an asymptotic converse to Serre vanishing.

研究动机与目标

• 研究当$m \to \infty$时，toric除子$D$的上同调群$H^i(X, \mathcal{O}(mD))$的渐近行为。
• 证明高阶渐近上同调函数$\widehat{h}^i(D)$在实Néron-Severi空间$A_{n-1}(X)_{\mathbb{R}}$上是连续且分段多项式的。
• 通过除子$D$定义的超平面排列中有界区域的体积，给出$T$-Cartier除子自交数$(D^n)$的组合公式。
• 在toric情形下证明Serre消去的渐近逆定理，表明当所有足够大的$m$都有$H^i(X, \mathcal{O}(mD)) = 0$时，$D$是数值正的。

提出的方法

• 利用Eisenbud、Mustaţǎ和Stillman的局部上同调计算，证明在$M_{\mathbb{R}}$中由子集$I \subset \Delta(1)$索引的多面体区域上，$H^i(X, \mathcal{O}(D))_u$的维数是常数。
• 定义区域$P_{D,I} = \{ u \in M_{\mathbb{R}} : \langle u, v_\rho \rangle \geq -d_\rho \text{ iff } \rho \in I \}$，其在$mD$下被缩放。
• 利用这些区域上$h^i(mD)$的分段常数性，证明极限$\widehat{h}^i(D) = \lim_{m \to \infty} \frac{h^i(mD)}{m^n / n!}$的存在性。
• 应用Gelfand-Kapranov-Zelevinsky（GKZ）分解，将有效锥分解为有限个有理多面体腔室，在每个腔室中，多面体$P_D$的组合类型保持不变。
• 推导出公式$\chi(\mathcal{O}(D)) = (-1)^n \sum_{P_{D,I} \text{ bounded}} \chi(\Delta_I) \cdot (\# P_{D,I} \cap M)$，将欧拉示性数与有界区域中的格点计数联系起来。
• 证明自交数$(D^n)$等于所有有界$P_{D,I}$上$\chi(\Delta_I) \cdot \mathrm{vol}(P_{D,I})$的和，其中$\chi(\Delta_I)$是扇形$\Delta_I$的欧拉示性数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在toric代数簇的Néron-Severi空间上，高阶渐近上同调函数$\widehat{h}^i(D)$是否连续且分段多项式？
• RQ2 能否将$T$-Cartier除子的自交数$(D^n)$表示为超平面排列中有界区域的组合不变量之和？
• RQ3 若对所有$i > 0$和所有足够大的$m$，有$H^i(X, \mathcal{O}(mD)) = 0$，是否意味着$D$是数值正的？
• RQ4 有效锥的GKZ分解如何与体积函数和上同调函数的腔室结构相关联？

主要发现

• 渐近上同调函数$\widehat{h}^i(D)$作为极限存在，并在$A_{n-1}(X)_{\mathbb{R}}$的有限多面体腔室分解下是连续且分段多项式的。
• 体积函数$\mathrm{vol}(D) = \widehat{h}^0(D)$在不同的GKZ腔室上由不同的多项式表达式给出，且在不同腔室上其$n$阶导数不同。
• $T$-Cartier除子的自交数$(D^n)$等于$\sum_{P_{D,I} \text{ bounded}} \chi(\Delta_I) \cdot \mathrm{vol}(P_{D,I})$，其中$\chi(\Delta_I)$是扇形$\Delta_I$的欧拉示性数。
• 欧拉示性数$\chi(\mathcal{O}(D))$由公式$(-1)^n \sum_{P_{D,I} \text{ bounded}} \chi(\Delta_I) \cdot (\# P_{D,I} \cap M)$给出，将拓扑不变量与组合不变量联系起来。
• 体积函数在每个GKZ腔室上是多项式函数，且分解是有限且有理多面体的，腔室对应于Mori腔室和GIT腔室。
• 存在Serre消去的渐近逆定理：若对所有$i > 0$和所有足够大的$m$，有$H^i(X, \mathcal{O}(mD)) = 0$，则$D$是数值正的，且$\widehat{h}^0(D) = (D^n)$。