[论文解读] Asymptotic Cohomology and Uniform Stability for Lattices in Semisimple Groups

Lev Glebsky, Alexander Lubotzky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Operator Algebra Research被引用 4

一句话总结

本文在次乘性范数下，针对有限维希尔伯特空间上的酉表示，建立了半单群中高秩格子的统一稳定性。通过发展一种捕捉稳定性障碍的渐近上同调理论，作者证明了第二渐近上同调的消失意味着统一稳定性，从而将卡兹丹对可约群的结果以及伯格-奥扎瓦-托姆对 $SL(n,\mathbb{Z})$（$n>2$）的结果推广至一般高秩格子。

ABSTRACT

It is, by now, classical that lattices in higher rank semisimple groups have various rigidity properties. In this work, we add another such rigidity property to the list: uniform stability with respect to the family of unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces equipped with submultiplicative norms. Namely, we show that for (most) high-rank lattices, every finite-dimensional unitary "almost-representation" of $Γ$ is a small deformation of a (true) unitary representation. This extends a result of Kazhdan (1983) for amenable groups and of Burger-Ozawa-Thom (2013) for SL(n,Z) (for n>2). Towards this goal, we first build an elaborate cohomological theory capturing the obstruction to such stability, and show that the vanishing of second cohomology implies uniform stability in this setting. This cohomology can be roughly thought of as an asymptotic version of bounded cohomology, and sheds light on a question raised in Monod (2006) about a possible connection between vanishing of second bounded cohomology and Ulam stability.

研究动机与目标

• 建立半单群中高秩格子的新刚性性质——统一稳定性。
• 将关于可约群和 $SL(n,\mathbb{Z})$ 的乌拉姆稳定性已知结果推广至一般高秩格子。
• 发展一种新的上同调框架——“渐近上同调”——以捕捉统一稳定性的障碍。
• 阐明有界上同调、渐近上同调与乌拉姆稳定性之间的关系，特别是在第二上同调消失的背景下。

提出的方法

• 引入一种新的上同调理论——“渐近上同调”——作为有界上同调的渐近变体，以研究稳定性障碍。
• 为格子 $\Gamma$ 和一族巴拿赫 $\Gamma$-模 $\mathcal{W}$ 定义渐近上同调群 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$，以建模有限维酉表示。
• 证明 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ 的消失意味着 $\Gamma$ 在有限维希尔伯特空间上的酉群表示下具有统一稳定性。
• 建立从渐近上同调到有界上同调 $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ 的比较映射，将新理论与已广泛研究的有界上同调不变量联系起来。
• 利用抛物子群的结构以及高秩格子中上同调的消失性，证明此类群的 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) = 0$。
• 借助马格努斯超刚性与算术性，将表示的研究约化为伽罗瓦扭变与有限商表示，从而实现上同调控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 第二渐近上同调的消失是否意味着高秩半单群中格子的统一稳定性？
• RQ2 渐近上同调能否在有限维酉表示的背景下，作为有界上同调与乌拉姆稳定性之间的桥梁？
• RQ3 性质 $G(\mathcal{Q}_1, \mathcal{Q}_2)$ 对于稳定性结果是否必要，还是仅为证明中的技术性副产品？
• RQ4 比较映射 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ 在多大程度上捕捉了稳定性障碍？
• RQ5 渐近上同调的框架能否推广至非一致格子或非阿基米德设置？

主要发现

• 所有半单群中的高秩格子 $\Gamma$ 的第二渐近上同调群 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ 均消失，从而蕴含统一稳定性。
• 在子乘性范数下，所有高秩格子 $\Gamma$ 对有限维希尔伯特空间上的酉表示均具有统一稳定性。
• $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ 的消失足以推出统一稳定性，推广了卡兹丹对可约群的结果。
• 比较映射 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ 不一定是单射或满射，但其核捕捉了稳定性障碍。
• 对于高秩单李群中的格子，所有对偶可分巴拿赫 $\Gamma$-模 $W$ 满足 $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, W) = 0$，提示其与渐近上同调之间可能存在联系。
• 该框架区分了统一稳定性和逐点稳定性，表明即使在算子范数下逐点稳定性失败（特别是当 $p = \infty$ 时），统一稳定性依然成立。