[论文解读] Asymptotic Complexity Estimates for Probabilistic Programs and Their VASS Abstractions

Michal Ajdarów, Antonı́n Kučera|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 1

一句话总结

本文提出了针对具有非确定性的概率程序的鲁棒渐近复杂度估计，解决了当期望值为无穷时基于期望值的分析存在的局限性。针对带有状态的向量加法系统上的马尔可夫决策过程（VASS MDPs），提出了下界、上界和紧致复杂度估计，并证明对于具有DAG-like MEC分解的VASS MDPs，计数器和终止复杂度要么有界于n，要么有界于n²，且该问题可在多项式时间内判定。

ABSTRACT

The standard approach to analyzing the asymptotic complexity of probabilistic programs is based on studying the asymptotic growth of certain expected values (such as the expected termination time) for increasing input size. We argue that this approach is not sufficiently robust, especially in situations when the expectations are infinite. We propose new estimates for the asymptotic analysis of probabilistic programs with non-deterministic choice that overcome this deficiency. Furthermore, we show how to efficiently compute/analyze these estimates for selected classes of programs represented as Markov decision processes over vector addition systems with states.

研究动机与目标

• 解决在期望值为无穷时，基于期望值的渐近复杂度分析在概率程序中不充分的问题。
• 提出新的鲁棒复杂度估计——下界、上界和紧致估计，以替代概率设置下不可靠的期望值。
• 分析抽象为VASS MDPs的概率程序的渐近复杂度，尤其关注具有非确定性和概率选择的情况。
• 为特定类别的VASS MDPs（包括具有DAG-like MEC分解和一维系统的VASS MDPs）建立复杂度界判定的可判定性与高效计算方法。

提出的方法

• 提出新的复杂度估计：下界、上界和紧致估计，作为基于期望值分析的替代方案。
• 将概率程序建模为带有状态的向量加法系统上的马尔可夫决策过程（VASS MDPs）。
• 应用概率验证和马尔可夫链分析技术，以界定计数器值和终止时间。
• 通过MEC（最大终结组件）分解进行归纳，以界定大计数器值的概率。
• 采用基于策略的分析和BSCC（底部强连通分量）分类，以确定有界性和增长率。
• 通过从哈密顿回路问题的约化，将复杂度分类问题转化为NP-完全问题，从而实现关键情况下的多项式时间可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当概率程序中的期望值为无穷时，基于期望值的渐近复杂度分析是否可能产生误导？
• RQ2 在具有非确定性的概率系统中，是否存在比期望值更鲁棒的复杂度估计？
• RQ3 对于具有DAG-like MEC分解的VASS MDPs，计数器和终止复杂度的可能渐近增长速率是什么？
• RQ4 在这些系统中，是否可在多项式时间内判定最大计数器值的增长速率是n还是n²？
• RQ5 一维VASS MDPs的渐近复杂度的完整分类是什么？

主要发现

• 对于具有DAG-like MEC分解的VASS MDPs，最大计数器值的增长速率要么为n（紧致估计），要么为n²（下界估计），且可多项式时间判定属于哪种情况。
• 该二分法同样适用于终止复杂度和转移复杂度，因为它们可通过引入步长计数器编码为计数器复杂度。
• 对于一维VASS MDPs，计数器复杂度要么无界，要么被n紧致估计；终止复杂度要么无界，要么被n或n²紧致估计；转移复杂度要么无界，要么有界于常数，要么被n或n²紧致估计。
• 所有一维VASS MDPs的分类问题均可在多项式时间内判定。
• 在MDP策略中存在非减小BSCC的问题是NP-完全的，该结果被用于刻画有界性和增长率。
• 判定是否存在有界零BSCC的问题是NP-完全的，该结果支持了复杂度分类结果。