[论文解读] Asymptotic Correlation Structure of Discounted Incurred But Not Reported Claims under Fractional Poisson Arrival Process

Eric C.K. Cheung, Landy Rabehasaina+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Probability and Risk Models参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文在分数阶泊松到达过程下，通过基于更新密度的递归联合矩计算，推导了折现未报告索赔（IBNR）的渐近相关结构。结果表明，相关性随时间呈幂律衰减，衰减速率取决于分数阶参数 α 和延迟分布，揭示了在某些参数区域下的长程依赖性。

ABSTRACT

This paper studies the joint moments of a compound discounted renewal process observed at different times with each arrival removed from the system after a random delay. This process can be used to describe the aggregate (discounted) Incurred But Not Reported claims in insurance and also the total number of customers in an infinite server queue. It is shown that the joint moments can be obtained recursively in terms of the renewal density, from which the covariance and correlation structures are derived. In particular, the fractional Poisson process defined via the renewal approach is also considered. Furthermore, the asymptotic behaviour of covariance and correlation coefficient of the aforementioned quantities is analyzed as the time horizon goes to infinity. Special attention is paid to the cases of exponential and Pareto delays.

研究动机与目标

• 使用具有随机报告延迟的复合折现更新过程，对时间维度上折现IBNR索赔的联合行为进行建模。
• 在分数阶泊松到达过程中，推导聚合索赔过程的联合矩、协方差和相关结构。
• 分析当时间范围趋于无穷时相关系数的渐近行为。
• 研究分数阶泊松参数 α 和延迟分布（指数或帕累托）对长期依赖特性的影响。
• 为具有重尾到达时间间隔的精算和排队系统中的长程依赖建模提供理论基础。

提出的方法

• 使用复合折现更新过程，其中每笔索赔在随机延迟后被移除，以模拟IBNR索赔或无限服务器队列的大小。
• 通过底层计数过程的更新密度，递归推导联合矩。
• 应用通过Mittag-Leffler到达时间定义的分数阶泊松过程，以模拟重尾索赔到达。
• 利用从联合矩中导出的精确表达式，分析渐近协方差和相关性。
• 采用渐近展开以确定相关性的长期行为，特别是幂律衰减。
• 通过指数和帕累托延迟的数值示例，说明 α 和 δ 对均值、方差和相关性的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间趋于无穷时，两个不同时间点的折现IBNR索赔之间的相关性如何渐近表现？
• RQ2 分数阶泊松参数 α 对IBNR索赔长期相关结构有何影响？
• RQ3 不同的延迟分布（指数分布与帕累托分布）如何影响渐近相关性及其对 α 的依赖性？
• RQ4 该模型是否表现出长程依赖性？如果是，在何种条件下？
• RQ5 利率强度 δ 如何影响折现IBNR过程的均值和方差？

主要发现

• 对于指数延迟，Z(s) 与 Z(t) 之间的渐近相关性以 t^{-(3−α)/2} 的速率衰减，表明幂律衰减及在 α < 1 时的长程依赖性。
• 对于帕累托延迟，渐近相关性在 α 上并非单调，且在临界值如 α = η 处，方差和相关性函数出现不连续性。
• Z(t) 的渐近均值随 α 增加而上升，反映出当到达时间间隔分布的重尾性减弱时，索赔到达更频繁。
• 对于帕累托延迟，当 α = η 时，Z(t) 的渐近方差出现不连续性，尽管受尺度限制，这些不连续性在数值图中仍可辨识。
• 对于固定的 s，相关性随时间 t 增加而减小，因为早期报告的索赔更可能在后续时间被报告。
• 利率强度 δ 越高，折现IBNR索赔的均值和方差越迅速衰减至零，尤其在 t 较大时更为显著。