[论文解读] Asymptotic coupling and a weak form of Harris' theorem with applications to stochastic delay equations

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly+1 more|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文通过渐近耦合与弱哈里森定理，建立了无限维空间上马尔可夫过程（特别是随机时滞方程）唯一遍历性与谱间隙存在的条件。证明了若从不同初值出发的解渐近耦合，且存在李雅普诺夫函数，则至多存在一个不变测度，且收敛速度呈指数级，即使转移核彼此奇异亦成立。

ABSTRACT

There are many Markov chains on infinite dimensional spaces whose one-step transition kernels are mutually singular when starting from different initial conditions. We give results which prove unique ergodicity under minimal assumptions on one hand and the existence of a spectral gap under conditions reminiscent of Harris' theorem. The first uses the existence of couplings which draw the solutions together as time goes to infinity. Such "asymptotic couplings" were central to recent work on SPDEs on which this work builds. The emphasis here is on stochastic differential delay equations.Harris' celebrated theorem states that if a Markov chain admits a Lyapunov function whose level sets are "small" (in the sense that transition probabilities are uniformly bounded from below), then it admits a unique invariant measure and transition probabilities converge towards it at exponential speed. This convergence takes place in a total variation norm, weighted by the Lyapunov function. A second aim of this article is to replace the notion of a "small set" by the much weaker notion of a "d-small set," which takes the topology of the underlying space into account via a distance-like function d. With this notion at hand, we prove an analogue to Harris' theorem, where the convergence takes place in a Wasserstein-like distance weighted again by the Lyapunov function. This abstract result is then applied to the framework of stochastic delay equations.

研究动机与目标

• 为解决随机时滞方程（SDDEs）中缺乏小集的问题，因转移核彼此奇异，标准哈里森理论失效。
• 在无限维空间上的马尔可夫过程中，建立唯一遍历性的最小且可验证条件。
• 提出哈里森定理的弱形式，以‘d-小集’替代经典‘小集’条件，确保在某种类似沃瑟斯坦距离下的指数收敛。
• 将遍历理论的应用扩展至具有状态相关噪声的退化SPDEs与SDDEs。
• 解决长期悬而未决的难题：在自然条件下，证明SDDEs存在唯一不变测度并实现指数收敛。

提出的方法

• 引入渐近耦合：即使转移核奇异，从不同初值出发的路径仍能在时间趋于无穷时收敛于分布。
• 利用李雅普诺夫函数控制过程的增长，确保稳定性。
• 以依赖于状态空间上距离函数d的‘d-小集’条件，替代哈里森定理中的经典‘小集’条件。
• 应用弱哈里森定理，证明在由李雅普诺夫函数加权的沃瑟斯坦型距离下实现指数收敛。
• 在维纳过程中采用平移耦合技术，强制解实现渐近耦合，灵感源自SPDE方法。
• 将抽象结果应用于随机时滞方程，证明其至多存在一个不变测度，且收敛速度呈指数级。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机时滞方程至多存在一个不变测度？
• RQ2 当转移核彼此奇异且强弗勒利希性质不成立时，能否建立指数遍历性？
• RQ3 能否以依赖于距离的‘d-小集’条件替代经典‘小集’条件，从而形式化哈里森定理的弱形式？
• RQ4 如何利用渐近耦合证明无限维、奇异马尔可夫过程中唯一遍历性？
• RQ5 该理论能否扩展至具有退化噪声的SPDEs，特别是可约化为SDDEs的SPDEs？

主要发现

• 从不同初值出发的路径之间存在渐近耦合，意味着至多存在一个不变测度。
• 李雅普诺夫函数与‘d-小集’条件可确保在由李雅普诺夫函数加权的沃瑟斯坦型距离下实现指数收敛。
• 该理论适用于即使不存在非平凡小集的随机时滞方程，从而解决了长期悬而未决的难题。
• 对于具有时滞与状态相关噪声的标量SDDE，本文在漂移与扩散系数满足温和条件时，证明了唯一遍历性与指数混合性。
• 该框架可推广至一大类退化SPDEs，包括具有多项式非线性项的半线性SPDEs，以及满足霍尔曼条件的加性噪声。
• 结果对退化噪声具有鲁棒性，且无需强弗勒利希性质，因此适用于具有奇异转移核的系统。