[论文解读] Asymptotic density of Motzkin numbers modulo small primes

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文利用其余数的结构表征，确定了模小素数（2、3、4、5、8）的Motzkin数的渐近密度。通过分析由基-q展开定义的集合并应用渐近密度定理，推导出精确密度：偶数Motzkin数的密度为1/3，被5整除的Motzkin数密度为1/10，被3整除的Motzkin数密度为1。

ABSTRACT

We establish the asymptotic density of the Motzkin numbers modulo small primes.

研究动机与目标

• 确定Motzkin数模小素数及素数幂（特别是2、3、4、5和8）的渐近密度。
• 通过量化每个余数类的自然密度，扩展先前关于Motzkin数余数的研究。
• 解决关于Motzkin序列中零余数及其他同余类频率的开放问题。
• 提供一种系统方法，基于递归余数结构和基-q展开计算渐近密度。

提出的方法

• 利用先前研究中已知的Motzkin数模小素数及其幂的余数结构表征。
• 应用定理1计算形如 $ S(q,r,s,t) = \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $ 的集合的渐近密度，其中 $ q, s > 0 $，$ t \geq 0 $，$ 0 \leq r < q $。
• 推导出此类集合的渐近密度为 $ (q^{t+1-s}(q^s - 1))^{-1} $，从而实现对余数类密度的计算。
• 将密度公式应用于满足 $ M_n \equiv r \mod m $ 的特定 $ n $ 的形式，基于Deutsch、Sagan、Eu、Liu、Yeh、Krattenthaler、Müller及Rowland-Yassawi的先前结果。
• 利用三进制表示中仅含数字0和1的数集具有渐近密度零的事实，证明 $ M_n \equiv 0 \mod 3 $ 几乎必然成立。
• 将不相交的余数类组合，并应用密度可加性，计算模2、3、4、5和8下每种余数的总密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Motzkin数模2同余于0的渐近密度是多少？
• RQ2 Motzkin数模3同余于0的渐近密度是多少？
• RQ3 Motzkin数模4、5和8的渐近密度是多少，特别是对每个余数类而言？
• RQ4 Motzkin数模小素数的密度与Catalan数的密度相比如何？
• RQ5 能否利用基于基-q展开推导出的结构形式，计算Motzkin数模小素数的渐近密度？

主要发现

• 被2整除的Motzkin数的渐近密度为 $ \frac{1}{3} $，由四个互不相交的余数类构成，每类密度为 $ \frac{1}{12} $。
• 模8同余于4的Motzkin数的渐近密度为 $ \frac{1}{6} $，对应于上述四个余数类中的两个。
• 模8同余于2或6的Motzkin数的渐近密度各为 $ \frac{1}{12} $，这是由于其二进制展开中1比特的均衡分布所致。
• 被5整除的Motzkin数的渐近密度为 $ \frac{1}{10} $，由四种不相交形式贡献：两种密度为 $ \frac{1}{24} $，两种密度为 $ \frac{1}{120} $。
• 被3整除的Motzkin数的渐近密度为1，因为满足 $ M_n \not\equiv 0 \mod 3 $ 的指标集合的密度为零。
• 满足 $ M_n \equiv 0 \mod 8 $ 的指标集合的渐近密度为零，与Rowland和Yassawi的结果一致，即模8下0是被禁止的余数。