[论文解读] Asymptotic density of states in 2d CFTs with non-invertible symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Masaki Okada+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 10

一句话总结

该论文将二维共形场论（2D CFT）中有限群对称性的渐近态密度推广至由融合范畴描述的非可逆对称性。通过引入管代数和戴维德中心，该研究识别了融合范畴的不可约表示，并推导出一个与 $\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$ 成比例的通用渐近公式，将卡迪公式推广至具有选择规则和谱分析的非可逆对称性。

ABSTRACT

It is known that the asymptotic density of states of a 2d CFT in an irreducible representation $ρ$ of a finite symmetry group $G$ is proportional to $(\dimρ)^2$. We show how this statement can be generalized when the symmetry can be non-invertible and is described by a fusion category $\mathcal{C}$. Along the way, we explain what plays the role of a representation of a group in the case of a fusion category symmetry; the answer to this question is already available in the broader mathematical physics literature but not yet widely known in hep-th. This understanding immediately implies a selection rule on the correlation functions, and also allows us to derive the asymptotic density.

研究动机与目标

• 将此前仅适用于二维共形场论中有限群对称性的通用渐近态密度公式推广至由融合范畴描述的非可逆对称性情形。
• 通过管代数和戴维德中心构造，阐明融合范畴对称性背景下群表示的范畴化推广。
• 推导由融合范畴对称性结构引发的相关函数中的选择规则。
• 在大中心荷极限下，为戴维德中心中任意子 $\mu$ 标记的扇区建立密度的通用渐近公式。

提出的方法

• 从融合范畴 $\mathcal{C}$ 构造管代数 $\mathrm{Tube}(\mathcal{C})$，用于分类对称性的不可约表示。
• 利用戴维德中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 分类融合范畴对称性的不可约表示，推广群表示的结构。
• 通过编码融合规则的矩阵 $\mathbf{N}_\rho$，定义具有扭参数 $\tau$ 的任意子链的渐近希尔伯特空间维数 $\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$。
• 对非负矩阵 $\mathbf{N}_\rho$ 应用Perron-Frobenius理论，分析大 $L$ 时态计数的渐近行为。
• 推导渐近公式 $\lim_{L\to\infty} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}}{r^L} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$，其中 $r$ 为谱半径。
• 通过在 $h$ 个连续 $L$ 值上取平均，考虑谱中周期性 $h$ 的影响，以稳定渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有限群表示的概念推广至描述二维共形场论中非可逆对称性的融合范畴？
• RQ2 在非可逆对称性下，渐近态密度公式中 $ (\dim\rho)^2 $ 比例因子的正确类比是什么？
• RQ3 由融合范畴对称性结构引发的相关函数中，会涌现出哪些选择规则？它们在范畴上如何编码？
• RQ4 渐近态密度在戴维德中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 的不可约扇区上如何分解？
• RQ5 融合矩阵 $\mathbf{N}_\rho$ 的谱半径与周期性在希尔伯特空间维数的大 $L$ 极限中起什么作用？

主要发现

• 具有融合范畴对称性 $\mathcal{C}$ 的二维共形场论中，渐近态密度与 $\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$ 成比例，其中 $\mu$ 为戴维德中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 中的任意子，$\tau$ 为扭参数标签。
• 比例因子将群对称性下的 $ (\dim\rho)^2 $ 规则推广至融合范畴，现涉及任意子的量子维 $\dim\mu$ 与 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 融合系数 $\langle\mu, \tau\rangle$。
• 由希尔伯特空间分解为 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$-不可约表示而产生的选择规则，限制了允许的算符插入。
• 希尔伯特空间维数 $\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$ 的大 $L$ 渐近行为由融合矩阵 $\mathbf{N}_\rho$ 的谱半径 $r$ 主导，收敛速率由Perron-Frobenius特征向量决定。
• 当融合矩阵 $\mathbf{N}_\rho$ 具有周期性 $h > 1$ 时，渐近公式需对 $h$ 个连续 $L$ 值取平均，以稳定极限行为。
• 即使存在周期性，渐近公式 $\lim_{L\to\infty} \frac{1}{h}\sum_{\ell=L}^{L+h-1} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(\ell)}}{r^{\ell}} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$ 依然普遍成立。