[论文解读] Asymptotic Dimension of Minor-Closed Families and Assouad-Nagata Dimension of Surfaces

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用 8

一句话总结

本文证明了每个适当的极小图族（minor-closed family）的渐近维数至多为2，解决了Fujiwara与Papasoglu长期悬而未决的问题，并将Ostrovskii与Rosenthal关于排除极小图的群的问题推广到更强的形式。此外，本文通过在有界分层树宽和多项式增长的图上使用新颖的图论技术，证明了完备黎曼曲面的Assouad-Nagata维数至多为2。

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. In this paper, we study the asymptotic dimension of metric spaces generated by graphs and their shortest path metric and show their applications to some continuous spaces. The asymptotic dimension of such graph metrics can be seen as a large scale generalisation of weak diameter network decomposition which has been extensively studied in computer science. We prove that every proper minor-closed family of graphs has asymptotic dimension at most 2, which gives optimal answers to a question of Fujiwara and Papasoglu and (in a strong form) to a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal on minor excluded groups. For some special minor-closed families, such as the class of graphs embeddable in a surface of bounded Euler genus, we prove a stronger result and apply this to show that complete Riemannian surfaces have Assouad-Nagata dimension at most 2. Furthermore, our techniques allow us to prove optimal results for the asymptotic dimension of graphs of bounded layered treewidth and graphs of polynomial growth, which are graph classes that are defined by purely combinatorial notions and properly contain graph classes with some natural topological and geometric flavours.

研究动机与目标

• 确定适当的极小图族的渐近维数，解决几何群论与粗几何中的开放问题。
• 通过利用从曲面嵌入导出的图度量，建立完备黎曼曲面的Assouad-Nagata维数。
• 将控制函数技术扩展至由组合参数（如分层树宽与增长速率）定义的图类。
• 通过证明广泛图类的渐近维数最优界，强化先前关于弱直径网络分解的结果。
• 研究单调图族中扩张性质、渐近维数与分离定理之间的关系。

提出的方法

• 使用 $ r $-不相交、$ D(r) $-有界的覆盖概念，通过控制函数定义渐近维数。
• 应用图极小理论与结构分解技术，界定极小图族的渐近维数。
• 引入一种离散化方法，将连续的黎曼曲面与具有有界欧拉亏格的图嵌入联系起来。
• 利用分层树宽与增长速率的约束，推导出图类间渐近维数的统一界。
• 利用弱直径网络分解与极小图排除的结果，证明维数界。
• 通过将先前arXiv文稿[10, 30]中的结果升级为曲面可嵌入图的Assouad-Nagata维数，强化了早期成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何适当的极小图族的渐近维数是多少？
• RQ2 能否对有界分层树宽或多项式增长的图的渐近维数给出统一的界？
• RQ3 每个完备黎曼曲面的Assouad-Nagata维数是否至多为2？
• RQ4 对于任意固定的 $ H $ 与 $ q $，排除 $ q $-肥 $ H $-极小图的图类是否存在渐近维数的统一界？
• RQ5 具有有界渐近维数的单调图类是否必然具有多项式扩张？

主要发现

• 每个适当的极小图族的渐近维数至多为2，该界是最优的，解决了Fujiwara与Papasoglu提出的问题。
• 可嵌入有界欧拉亏格曲面的图类的渐近维数至多为2，由此得出完备黎曼曲面的Assouad-Nagata维数至多为2。
• 有界分层树宽的图类的渐近维数至多为2，关键技术引理中将此前的界从12改进为1。
• 具有多项式增长速率的图类具有有界的渐近维数，且该界是紧的：若增长速率慢于 $ 3r+1 $，维数降至1。
• 本文对David Wood的猜想给出了否定回答：存在渐近维数为1但扩张为超多项式的单调图类。
• 对于任意 $ p, q $，不含 $ q $-肥 $ K_{2,p} $-极小图的图类的渐近维数至多为1，表明该维数受到强烈的结构约束。