[论文解读] Asymptotic distribution of the Markowitz portfolio

Steven E. Pav|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 60被引用 3

一句话总结

本文在一般矩条件和多元正态性下推导了马科维茨投资组合的渐近分布，实现了在异方差性和自相关性下的稳健推断。研究提供了对精度矩阵和马科维茨投资组合线性组合的似然比检验，应用于误差分解和投资组合收缩。

ABSTRACT

The asymptotic distribution of the Markowitz portfolio is derived, for the general case (assuming fourth moments of returns exist), and for the case of multivariate normal returns. The derivation allows for inference which is robust to heteroskedasticity and autocorrelation of moments up to order four. As a side effect, one can estimate the proportion of error in the Markowitz portfolio due to mis-estimation of the covariance matrix. A likelihood ratio test is given which generalizes Dempster's Covariance Selection test to allow inference on linear combinations of the precision matrix and the Markowitz portfolio. Extensions of the main method to deal with hedged portfolios, conditional heteroskedasticity, conditional expectation, and constrained estimation are given. It is shown that the Hotelling-Lawley statistic generalizes the (squared) Sharpe ratio under the conditional expectation model. Asymptotic distributions of all four of the common `MGLH' statistics are found, assuming random covariates. Examples are given demonstrating the possible uses of these results.

研究动机与目标

• 在四阶矩存在的广义矩条件下，推导样本马科维茨投资组合的渐近分布，实现稳健统计推断。
• 将推断方法扩展至处理四阶矩内异方差性和自相关性。
• 估计投资组合误差中可归因于协方差矩阵误估的比例，挑战了“收益均值估计主导误差”的普遍观点。
• 将邓普斯特的协方差选择检验推广，以支持对精度矩阵和马科维茨投资组合线性组合的推断。
• 将框架扩展至对冲投资组合、条件异方差性、条件期望和约束估计的统一处理。

提出的方法

• 将马科维茨投资组合表述为线性回归问题，从而在广义矩条件下推导其渐近正态性。
• 使用扩展的二阶矩矩阵 $\mathsf{\Theta} = \mathbb{E}[\tilde{\mathbf{x}} \tilde{\mathbf{x}}^\top]$，其中 $\tilde{\mathbf{x}} = [1, \mathbf{x}^\top]^\top$，将马科维茨投资组合与 $\mathsf{\Theta}$ 的逆矩阵联系起来。
• 通过样本 $\tilde{\mathbf{x}}$ 的二阶矩的中心极限定理，推导 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 的渐近分布，假设收益为独立同分布且四阶矩有限。
• 推导 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 与 $\hat{\mathsf{\Sigma}}^{-1}$ 的渐近协方差，从而实现误差分解和收缩估计。
• 在多元正态性假设下，构建针对 $\boldsymbol{\nu}_*$ 和 $\mathsf{\Sigma}^{-1}$ 线性组合的似然比检验，推广邓普斯特的检验。
• 证明霍特林-劳利统计量在条件期望模型下推广了平方夏普比率，将经典统计学与投资组合绩效度量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅存在四阶矩时，样本马科维茨投资组合的渐近分布是什么？如何使其在异方差性和自相关性下实现稳健推断？
• RQ2 马科维茨投资组合估计误差在多大程度上可归因于协方差矩阵的误估，而非均值向量的误估？
• RQ3 能否开发一种似然比检验，以实现对精度矩阵和马科维茨投资组合线性组合的推断，从而推广现有检验方法？
• RQ4 在随机协变量和广义矩条件下，四种常见的MGLH统计量（如霍特林-劳利统计量）的渐近分布行为如何？
• RQ5 该框架能否以统一方式扩展至处理对冲投资组合、条件异方差性以及约束估计？

主要发现

• 在收益具有有限四阶矩的假设下，样本马科维茨投资组合 $\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 是渐近正态的。
• 在四阶矩内，$\hat{\boldsymbol{\nu}}_*$ 的渐近协方差可估计且对异方差性和自相关性具有稳健性。
• 可通过推导出的渐近协方差结构，直接估计马科维茨投资组合中由协方差矩阵误估引起的误差比例。
• 在多元正态收益下，推导出一种似然比检验，该检验推广了邓普斯特的协方差选择检验，可包含精度矩阵和马科维茨投资组合的线性组合。
• 证明在条件期望模型下，霍特林-劳利统计量推广了平方夏普比率，为绩效评估提供了统一的统计框架。
• 在随机协变量下，推导出所有四种MGLH统计量（如皮莱迹、威尔克斯λ）的渐近分布，将经典多元统计分析扩展至投资组合情境。