[论文解读] Asymptotic efficiency of p-mean tests for means in high dimensions

Iosif Pinelis|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文分析了在高维设定下，针对多变量均值向量的p-均值检验的渐近相对效率（ARE）。研究发现，当p > 2时，这些检验可显著优于标准似然比检验（LRT），且性能永远不会明显更差。关键结果是，当p = 3时，AREp,2的取值范围从约0.96到无穷大，具体取决于备择均值向量的方向，且在样本量和均值向量模长的渐近行为满足一般且自然的条件下成立。

ABSTRACT

The asymptotic efficiency, ARE_{p,2}, of the tests for multivariate means theta in \R^d based on the p-means relative to the standard 2-mean, (approximate) likelihood ratio test (LRT), is considered for large dimensions d. It turns out that these p-mean tests for p>2 may greatly outperform the LRT while never being significantly worse than the LRT. For instance, ARE_{p,2} for p=3 varies from about 0.96 to \infty, depending on the direction of the alternative mean vector theta_1, for the null hypothesis H_0: theta=\0. These results are based on a complete characterization, under certain general and natural conditions, of the varying pairs (n,theta_1) for which the values of the power of the p-mean test for theta=\0 and theta=theta_1 tend, respectively, to prescribed values alpha and beta. The proofs use such classic results as the Berry-Esseen bound in the central limit theorem and the conditions of convergence to a given infinitely divisible distribution, as well as a recent result by the author on the Schur^2-concavity properties of Gaussian measures.

研究动机与目标

• 研究高维多变量均值检验中，p-均值检验相对于标准2-均值检验（LRT）的渐近相对效率（ARE）。
• 刻画在高维d下，p-均值检验实现期望统计功效水平的条件。
• 确定当p > 2时，p-均值检验在何种情况下可显著优于LRT，同时保持性能稳健。

提出的方法

• 使用对渐近充分（AS）对与三元组(n, θ₁)的完整刻画，以确保在H₀与H₁下，p-均值检验的统计功效收敛至预设水平α与β。
• 应用经典工具，如中心极限定理中的Berry-Esseen界以及收敛至无穷可分分布的条件。
• 利用近期关于高斯测度Schur²-凹性的结果，分析p-均值统计量的行为。
• 分析样本均值向量的p-均值，定义为(1/d ∑|xⱼ|ᵖ)¹ᐟᵖ，其中p ∈ [−∞, ∞]，包括p = 0（几何均值）、p = ∞（最大值）和p = −∞（最小值）的极限情况。
• 将渐近相对效率（AREp,2）定义为p-均值检验与LRT为达到相同功效水平所需样本量的比值。
• 考虑坐标置换与符号翻转的群Gd，并研究基于p-均值统计量的Gd-不变检验。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于备择均值向量θ₁的哪些方向，p > 2的p-均值检验相较于LRT具有更高的渐近相对效率？
• RQ2 在高维设定下，p > 2的p-均值检验的渐近相对效率（AREp,2）的取值范围是什么？
• RQ3 在何种条件下，p-均值检验能在不同均值向量方向上保持高统计功效，同时对方向性不敏感？
• RQ4 p的选择如何影响检验相对于LRT的效率，特别是当真实均值向量仅有少数几个主导分量时？
• RQ5 p-均值检验在高维下是否能始终比LRT更强大，尤其是在均值向量稀疏时？

主要发现

• 当p = 3时，p-均值检验相对于LRT的渐近相对效率（AREp,2）取值范围从约0.96到无穷大，具体取决于备择均值向量θ₁的方向。
• 在高维设定下，当真实均值向量仅有少数几个主导分量时，p > 2的p-均值检验可显著优于LRT。
• p-均值检验的性能永远不会明显劣于LRT，确保了在不同均值向量配置下的稳健性。
• 在样本量n与备择均值向量θ₁范数的渐近行为满足一般且自然的条件下，渐近相对效率被完整刻画。
• 分析结果证实，p-均值检验是渐近充分的，其统计功效行为受极大化与随机序原理的支配。
• 结果通过先进工具推导得出，包括Berry-Esseen界、收敛至无穷可分分布的性质，以及高斯测度的Schur²-凹性。