[论文解读] Asymptotic entanglement in the discrete-time quantum walk

G. Abal, R. Donangelo+1 more|ArXiv.org|Sep 20, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文通过冯·诺依曼纠缠熵研究了离散时间量子行走中的渐近纠缠。对具有局域或非局域初始态的单粒子系统，该文解析推导了长时间极限下的纠缠值，并表明采用非可分量子比特操作的双粒子系统会生成双粒子纠缠，且纠缠随时间对数增长，Grover与RP量子比特操作的增速系数最高可达 c ≈ 0.89。

ABSTRACT

The coin-position entanglement generated by the evolution operator of a discrete--time quantum walk converges, in the long time limit, to a well defined value which depends on the initial state. We also discuss the asymptotic bi-partite entanglement generated by several non-separable coin operations for two coherent quantum walkers, for which the entropy of entanglement increases logarithmically.

研究动机与目标

• 量化单个离散时间量子行走中量子比特与位置自由度之间的长时间纠缠。
• 确定初始态制备方式对行走系统渐近纠缠水平的影响。
• 探索在非可分量子比特操作下双粒子系统中粒子间纠缠的生成机制。
• 利用量子博弈中的非局域量子比特操作，表征多粒子量子行走中纠缠的时间演化行为。
• 建立渐近纠缠的解析表达式，并量化其在多粒子情形下随时间的标度行为。

提出的方法

• 使用约化密度矩阵的冯·诺依曼熵作为纠缠度量（即纠缠熵）。
• 应用傅里叶分析研究行走的时间演化，推导出量子比特-位置纠缠的渐近表达式。
• 采用动量表象下的对偶空间表示 |k⟩，对演化算符进行对角化，并求解时间依赖振幅。
• 分析局域与非局域初始态（包括 |±1⟩ 位置本征态的叠加）下纠缠熵的渐近行为。
• 将该框架扩展至具有非可分量子比特操作（如Grover与随机-帕夫洛夫(RP)量子比特）的双量子行走者系统。
• 对 log₂(t) 与 S_E 进行线性回归，以提取对数纠缠增长 S_E ∼ log₂(t^c) 中的标度指数 c。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有局域初始态的单粒子离散时间量子行走（Hadamard行走），量子比特与位置之间的渐近纠缠值是多少？
• RQ2 在单粒子行走中，是否可通过非局域初始条件实现任意渐近纠缠水平？
• RQ3 当对双量子行走者施加非可分量子比特操作时，其粒子间纠缠如何随时间演化？
• RQ4 在采用非可分量子比特操作（如Grover或RP操作）的多粒子量子行走中，纠缠增长的函数形式是什么？
• RQ5 在双粒子系统中，纠缠标度指数 c 是否依赖于初始量子比特态与量子比特操作的选择？

主要发现

• 对于Hadamard行走中具有局域初始态的单粒子系统，渐近纠缠收敛于约 0.736 至最大纠缠之间的值，具体取决于初始量子比特态。
• 当初始态覆盖 |±1⟩ 位置本征态的非局域态时，渐近纠缠可调节至 0 到 1 之间的任意值。
• 在采用非可分量子比特操作的双粒子系统中，双粒子纠缠随时间对数增长，遵循 S_E ∼ log₂(t^c) 的规律。
• 对于Grover量子比特操作与初始态 |χ₂⟩，纠缠标度指数为 c ≈ 0.89，表明增长迅速。
• 对于RP量子比特操作，纠缠增长的标度指数为 c ≈ 0.87，与Grover量子比特的快速增长情形相似。
• 对于Grover量子比特操作与局域初始态 |χ₁⟩，纠缠增长较慢，标度指数为 c ≈ 0.52，表明纠缠累积速率较慢。