[论文解读] Asymptotic enumeration of vertex-transitive graphs of fixed valency

Primož Potočnik, Pablo Spiga+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文建立了 d-正则顶点传递图在阶数至多为 n 时的同构类数的渐近界，表明 log(CAY_d(n)) 的增长为 Θ(d(log n)^2)。对于立方图（d=3），证明了更强的界限，并猜想几乎所有此类图都是凯莱图，且几乎所有凯莱图都是 GRR（图正则表示）。结果依赖于群论技术和陪集图构造。

ABSTRACT

Let $G$ be a group and let $S$ be an inverse-closed and identity-free generating set of $G$. The \emph{Cayley graph} $\Cay(G,S)$ has vertex-set $G$ and two vertices $u$ and $v$ are adjacent if and only if $uv^{-1}\in S$. Let $CAY_d(n)$ be the number of isomorphism classes of $d$-valent Cayley graphs of order at most $n$. We show that $\log(CAY_d(n))\inΘ(d(\log n)^2)$, as $n o\infty$. We also obtain some stronger results in the case $d=3$.

研究动机与目标

• 理解阶数至多为 n 的 d-正则顶点传递图的同构类数的渐近增长速率。
• 研究当 n 增大时，顶点传递图中为凯莱图或 GRR（图正则表示）的比例。
• 使用群论与组合技术，建立此类图数量的紧致渐近界。
• 探索高度对称图（如 3-正则 5-弧传递图）在渐近情形下的丰度。

提出的方法

• 利用有限生成群中正规子群增长的结果，推导出 d-正则凯莱图数量的上界。
• 应用关于 3-正则顶点传递图的自同构群增长的最新结果，强化 d=3 时的上界。
• 通过有限子群上群并的陪集图构造，构建 3-正则 5-弧传递图的无限族。
• 利用自由群的 pro-p 完备化，计算群 G 中有限指数正规子群的数量，从而获得图计数的下界。
• 利用每个满足 |G:M| ≤ 48n 的正规子群 M ≤ N 可通过陪集图构造出一个 3-正则 5-弧传递图的事实。
• 通过计数满同态的数量，限制由不同正规子群产生的同构图数量，其值至多为 |G/M|^6，因为 G 可由 6 个元素生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶数至多为 n 的 d-正则顶点传递图的同构类数如何渐近增长？
• RQ2 当 n → ∞ 时，d-正则顶点传递图中为凯莱图的比例是多少？
• RQ3 在极限情况下，几乎所有 d-正则凯莱图是否也都是 GRR？
• RQ4 3-正则 5-弧传递图在渐近情形下有多丰富？
• RQ5 能否使用群论构造方法，从下界控制此类对称图族的增长率？

主要发现

• 对每个 d ≥ 3，阶数至多为 n 的 d-正则凯莱图的同构类数满足 log(CAY_d(n)) ∈ Θ(d(log n)^2)，这意味着 CAY_d(n) = n^{Θ(d log n)}。
• 当 d = 3 时，阶数至多为 n 的 GRR 数量满足 n^{a log n} - c ≤ GRR_3(n) ≤ n^{b log n}，其中 a, b, c 为某组正常数。
• 阶数至多为 n 的 3-正则 5-弧传递图的数量至少为 n^{a log n} - b（a, b > 0），表明其在渐近意义下是丰富的。
• CAY_d(n) 的上界来源于有限生成群中正规子群的增长，利用了在秩为 r 的群中，指数至多为 n 的正规子群数量被 n^{O(r log n)} 所界定的事实。
• 3-正则 5-弧传递图的下界来源于从秩 ≥ 2 的自由群 N 的正规子群构造陪集图，其中 |G:M| ≤ 48n，由此得到至少 n^{a' log n} - b' 个此类子群。
• 3-正则 5-弧传递图的同构类数至少为 |𝒩_n| / (48n)^6，其中 |𝒩_n| ≥ n^{a' log n} - b'，最终得出形如 n^{a log n} - b 的下界。