[论文解读] ASYMPTOTIC ERGODICITY OF THE EIGENVALUES OF RANDOM OPERATORS IN THE LOCALIZED PHASE

Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用 11

一句话总结

本文证明了，在一类广义随机算子（包括离散安德森模型）的局域相中，当系统尺寸趋于无穷时，展开后的本征值依分布收敛于泊松点过程。该结果建立了本征值的渐近遍历性，证实了N. Minami的猜想，并使得可通过极限泊松过程恢复能级间距统计及其他谱统计量。

ABSTRACT

Abstract. We prove that, for a general class of random operators, the family of the unfolded eigenvalues in the localization region is asymptotically ergodic in the sense of N. Minami (see [25]). N. Minami conjectured this to be the case for discrete Anderson model in the localized regime. We also provide a local analogue of this result. From the asymptotics ergodicity, one can recover the statistics of the level spacings as well as a number of other spectral statistics. Our proofs rely on the analysis developed in [12]. Résumé. On démontre que, pour une classe générale d’opérateurs aléatoires, les familles valeurs propres “dépliées ” sont asymptotiquement ergodiques au sens de N. Minami (voir [25]). N. Minami a ̀ conjecture ́ que ceci est vrai pour le modèle d’Anderson discret dans le régime localisé. On démontre également un résultat analogue pour les valeurs pro-pres “locales”. L’ergodicite ́ asymptotique des valeurs propres permet alors d’en déduire les statistiques des espacements de niveaux ainsi que nombre d’autres statistiques spec-trales. Nos preuves reposent sur l’analyse faite dans [12].

研究动机与目标

• 证明在局域相中，广义随机算子族的展开本征值的渐近遍历性。
• 证实N. Minami关于离散安德森模型在局域区域中本征值统计收敛于泊松过程的猜想。
• 在谱区间内建立本征值的渐近遍历性的局部版本。
• 从本征值的渐近泊松行为推导出谱统计量，如能级间距分布。
• 将谱统计结果的适用范围扩展至先前假设之外，例如非光滑或非规则的势能分布。

提出的方法

• 分析依赖于Wegner估计和Minami估计（假设(W)和(M)），以控制局域相中的本征值统计。
• 作者使用文献[12]中的逼近定理，特别是定理1.16，将本征值点过程与热力学极限下的泊松过程关联起来。
• 通过展开构造点过程：本征值经累积态密度（IDS）映射至实直线上的均匀过程。
• 通过证明在变换下本征值过程的拉回（pushforward）收敛于强度为1的泊松过程，建立收敛性。
• 证明利用了当系统尺寸|Λ| → ∞时，展开与原始本征值过程之间的变换依分布收敛于恒等变换的事实。
• 通过弱收敛和连续映射定理，以ω-几乎必然的方式证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在热力学极限下，随机算子在局域相中的展开本征值族是否收敛于泊松过程？
• RQ2 N. Minami关于离散安德森模型在局域区域中本征值统计的猜想是否成立？
• RQ3 能否在谱区间内建立本征值的渐近遍历性的局部版本？
• RQ4 从本征值的渐近泊松行为中，可推导出哪些谱统计量，如能级间距？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至非光滑或非规则的随机势能分布？

主要发现

• 当耦合常数λ足够大时，展开本征值点过程Ξ(ω,t,Λ)在|Λ| → ∞时，以ω-几乎必然的方式依分布收敛于强度为1的泊松过程。
• 该结果证实了N. Minami关于离散安德森模型在局域相中本征值统计的猜想。
• 在谱区间J内的局部本征值过程，依分布收敛于强度为1、测度为ν_J(t)dt的泊松过程。
• 能级间距分布收敛于指数分布，其极限分布为∫_J e^{-ν_J(t)·|J|x} ν_J(t) dt。
• 收敛性不依赖于势能分布的正则性——仅需有界且紧支集的密度。
• 证明表明，原始与展开本征值过程之间的变换收敛于恒等变换，从而确保泊松极限成立。