[论文解读] Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights

Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 74被引用 4

一句话总结

本文利用马利avin微积分与伊ton积分理论，为具有预测性（非可预测）权重的维纳过程变体发展了一种渐近展开。通过引入基于指数的维纳泛函分类方法，系统地分析了随机展开，提出了包含拟挠率、拟切线及其他随机符号的展开公式，并将其应用于高频金融中的鲁棒波动率估计。

ABSTRACT

Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights is derived by the theory of asymptotic expansion for Skorohod integrals having a mixed normal limit. The expansion formula is expressed with the quasi-torsion, quasi-tangent and other random symbols. To specify these random symbols, it is necessary to classify the level of the effect of each term appearing in the stochastic expansion of the variable in question. To solve this problem, we consider a class ${\cal L}$ of certain sequences $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$ of Wiener functionals and we give a systematic way of estimation of the order of $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$. Based on this method, we introduce a notion of exponent of the sequence $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$, and investigate the stability and contraction effect of the operators $D_{u_n}$ and $D$ on ${\cal L}$, where $u_n$ is the integrand of a Skorohod integral. After constructed these machineries, we derive asymptotic expansion of the variation having anticipative weights. An application to robust volatility estimation is mentioned.

研究动机与目标

• 推导具有非适应于布朗运动滤子的预测性权重的维纳过程变体的渐近展开。
• 建立一个系统框架，用于估计涉及维纳泛函序列的随机展开的阶数。
• 引入并分析维纳泛函序列的“指数”概念，以对展开中每一项的贡献进行分类。
• 建立新定义的函数类 $\mathcal{L}$ 上马利avin导数与散度算子的稳定性和压缩性质。
• 将所得展开应用于统计问题，特别是高频数据中的鲁棒波动率估计。

提出的方法

• 本文以具有混合正态极限的伊顿积分渐近展开理论为基础框架。
• 定义了一类函数序列 $\mathcal{L}$，即 $({\cal I}_n)_{n\in\mathbb{N}}$，用于分析变体变量的随机展开。
• 提出了一种新的“指数”概念，基于多重伊藤积分及其导数的结构，对展开中每一项的数量级进行分类。
• 该方法涉及利用乘积公式与矩估计，对多重伊藤积分及其导数的 $L^p$-范数进行估计。
• 通过展开的递归结构，分析了马利avin导数 $D$ 与散度算子 $\delta$ 在 $\mathcal{L}$ 上的稳定性和压缩效应。
• 通过鞅型分解构造展开式，并对拟挠率与拟切线符号的导数施加界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地对具有预测性权重的变体随机展开中的各项进行分类与阶数估计？
• RQ2 马利avin导数与散度算子在控制此类展开的渐近行为中起什么作用？
• RQ3 维纳泛函序列的指数如何决定展开中的主导项贡献？
• RQ4 在什么条件下能保证算子 $D_{u_n}$ 与 $D$ 在类 $\mathcal{L}$ 上的稳定性和压缩性？
• RQ5 所推导的展开能否用于改进高频金融数据中鲁棒波动率估计？

主要发现

• 变体 $V_n$ 的渐近展开以拟挠率、拟切线及其他随机符号表示，提供了超越中心极限定理的精细逼近。
• 定义了序列 $({\cal I}_n)$ 的指数，并用于对各项贡献进行分类，实现了展开中阶数的精确估计。
• 在适当条件下，展开余项的 $L^p$-范数为 $O(n^{-1})$，优于先前的界。
• 对于多重伊藤积分的多项式，其 $L^{2k}$-范数被界为 $C n^{-\frac{1}{2}\xi}$，其中 $\xi = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - m - \#\{i: p_i \geq 2 \text{ 且 } p_i q_i \text{ 为偶数}\}$，确立了精确的衰减速率。
• 拟挠率的导数满足 $\|D_{u_n}D_{u_n}D_{u_n}M_n\|_p = o(r_n)$，这对鞅展开方法至关重要。
• 给出了在鲁棒波动率估计中的应用，表明该展开在扩散过程统计推断中的相关性。