[论文解读] Asymptotic expansion of Skorohod integrals

David Nualart, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过在频域中结合二阶插值与鞅展开技术，为Skorohod积分发展了一种渐近展开。引入了新型随机符号——准切线、准扭曲与修正准扭曲，以表达展开式，并在分数布朗运动及带随机权重的布朗运动的二次型中得到验证，通过鞅方法重现了已知结果。

ABSTRACT

Asymptotic expansion of the distribution of a perturbation $Z_n$ of a Skorohod integral jointly with a reference variable $X_n$ is derived. We introduce a second-order interpolation formula in frequency domain to expand a characteristic functional and combine it with the scheme developed in the martingale expansion. The second-order interpolation and Fourier inversion give asymptotic expansion of the expectation $E[f(Z_n,X_n)]$ for differentiable functions $f$ and also measurable functions $f$. In the latter case, the interpolation method connects the two non-degeneracies of variables for finite $n$ and $\infty$. Random symbols are used for expressing the asymptotic expansion formula. Quasi tangent, quasi torsion and modified quasi torsion are introduced in this paper. We identify these random symbols for a certain quadratic form of a fractional Brownian motion and for a quadratic from of a fractional Brownian motion with random weights. For a quadratic form of a Brownian motion with random weights, we observe that our formula reproduces the formula originally obtained by the martingale expansion.

研究动机与目标

• 为在存在参考变量的情况下，Skorohod积分扰动建立一个通用的渐近展开框架。
• 通过在频域中引入二阶插值，克服有限样本分布与极限分布中非退化性带来的挑战。
• 引入并形式化新的随机符号——准切线、准扭曲与修正准扭曲，以表达高阶渐近项。
• 在不依赖经典光滑性假设的前提下，建立展开式对可微函数与可测函数的有效性。
• 在带随机权重的布朗运动二次型情形下，重现鞅展开框架中的已知结果，验证新方法的一致性。

提出的方法

• 在频域中应用二阶插值公式，展开Skorohod积分与参考变量对的特征泛函。
• 将插值方法与鞅展开方案结合，推导形如 $\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ 的期望的渐近展开。
• 利用随机符号——准切线、准扭曲与修正准扭曲，表示展开中的高阶项，其来源于Malliavin微积分与协方差结构。
• 利用Malliavin微积分的性质（包括支撑定理与正则性条件），建立余项的矩与 $L^p$-范数估计。
• 通过傅里叶反演与局部密度逼近，控制真实分布与展开近似之间的误差。
• 在条件 [D] 下验证展开式，该条件通过 $L^p$-有界性与随机符号的收敛性，确保余项具有充分正则性与衰减性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当极限分布非退化但有限样本分布可能退化时，如何系统地推导Skorohod积分的渐近展开？
• RQ2 频域中的二阶插值在弥合有限样本分布与极限分布之间差距中起到何种作用？
• RQ3 新引入的随机符号——准切线、准扭曲与修正准扭曲，如何捕捉展开的高阶结构？
• RQ4 在何种情况下，所提方法能重现鞅展开框架中的已知结果？
• RQ5 对Malliavin导数与协方差结构提出何种条件，可确保渐近展开对可测函数的有效性？

主要发现

• 在条件 [C] 或 [C♮] 下，$\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ 的渐近展开对可测函数 $f$ 有效，突破了对可微函数的限制。
• 在适当的正则性与衰减条件下，余项 $\Delta_n(f)$ 满足 $o(r_n)$，当 $n \to \infty$ 时。
• 准切线、准扭曲与修正准扭曲被正式定义，并证明是表达展开高阶项的关键组成部分。
• 对于分数布朗运动的二次型，随机符号被明确识别，使展开式可直接应用。
• 该方法在带随机权重的布朗运动二次型情形下，重现了经典鞅展开结果，确认了方法的一致性。
• 当省略参考变量 $X_n$ 时，展开式在条件 [D] 下仍有效，此时得到的密度 $\hat{p}_n(z)$ 可作为 $\mathbb{E}[f(Z_n)]$ 的有效近似。