[论文解读] Asymptotic expansions for relativistic celestial mechanics

Mayeul Arminjon|ArXiv.org|Mar 16, 2000

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于标量引力理论的相对论天体力学渐近展开框架，引入了一个由引力场强度缩放的一参数族相似系统。通过将单位重新缩放以显式表示小参数 ε = 1/c²，推导出一致的后牛顿近似与后闵可夫斯基近似，表明标准后牛顿近似与常规渐近展开方法不兼容，因其仅展开引力场而未展开物质场。

ABSTRACT

The method of asymptotic expansions is used to build an approximation scheme relevant to celestial mechanics in relativistic theories of gravitation. A scalar theory is considered, both as a simple example and for its own sake. This theory is summarized, then the relevant boundary problem is seen to be the full initial-value problem. It is shown that, with any given system of gravitating bodies, one may associate a one-parameter family of similar systems, the parameter measuring the gravitational field-strength. After a specific change of units, the derivation of asymptotic expansions becomes straightforward. Two hypotheses could be made as to which time variable has to be used in the expansion. The first one leads to an "asymptotic" post-Newtonian approximation (PNA) with instantaneous propagation, differing from the standard PNA in that, in the asymptotic PNA, all fields are expanded. The second hypothese could lead to an "asymptotic" post-Minkowskian approximation (PMA) allowing to describe propagation effects, but it is not compatible with the Newtonian limit. It is shown that the standard PNA is not compatible with the application of the usual method of asymptotic expansions as envisaged here.

研究动机与目标

• 开发一个适用于标量引力理论中相对论天体力学的严格渐近展开框架。
• 解决标准后牛顿近似（PNA）与渐近展开形式方法之间的不一致问题，后者要求对所有场进行展开。
• 构建一个由引力场强度缩放的一参数族引力系统，以实现系统的近似方法。
• 将标准PNA与展开引力场和物质场的“渐近”PNA进行比较，表明后者在数学上更具一致性。
• 探讨渐近展开与牛顿极限及相对论引力中传播效应的相容性。

提出的方法

• 引入一个一参数族引力系统（Sε），其中 ε 表示引力场强度，该系统由具有紧支撑的给定物理系统导出。
• 根据 ε 应用特定的单位变换，以简化渐近展开过程，使其变得直接且基础。
• 将所有场——引力场与物质场——同时按 ε = 1/c² 的幂次展开，确保与标准渐近展开理论的一致性。
• 将初值问题视为相关边界问题，并分析边界条件在展开下的变换方式。
• 考虑两种时间依赖假设：一种导致“渐近”PNA，具有瞬时传播；另一种可能导出包含波传播的后闵可夫斯基方案。
• 使用标量理论作为模型，以澄清相对论天体力学中的概念问题，避免广义相对论的复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为相对论天体力学构建一个一致的渐近展开框架，该框架同时展开引力场与物质场？
• RQ2 为何标准后牛顿近似与常规应用的渐近展开形式方法不相容？
• RQ3 引入一参数族相似系统（Sε）与相对论引力中初值问题的关系是什么？
• RQ4 在渐近方案中展开物质场具有何种含义，特别是对牛顿极限与质量定义的影响？
• RQ5 能否从渐近展开方法中一致地导出后闵可夫斯基近似，且其是否保留传播效应？

主要发现

• 标准后牛顿近似（PNA）与常规渐近展开方法不相容，因其仅展开引力场而未展开物质场。
• 通过同时展开引力场与物质场，构建了“渐近”PNA，该方法在数学上一致，并导致瞬时传播的方案。
• 另一种假设可能导出包含波传播的“渐近”后闵可夫斯基近似（PMA），但其无法恢复牛顿极限。
• 本文所用的标量理论在 1/c² 阶以下不预测任何非牛顿效应，且在所选单位下，1/c 的偶次幂展开既一致又自然。
• 在渐近方案中，天体的牛顿质量并非唯一定义；相反，它由多个系数（如 M₀ₐ 和 M₁ₐ）表示，这些系数可由 T=0 时刻的初始数据表达。
• 额外的质量参数（如 M₁ₐ）依赖于理论，与牛顿质量不相同，这意味着牛顿质量仅在相对论力学中近似成立，其修正项与二阶项同阶。