[论文解读] Asymptotic flatness at null infinity in higher dimensional gravity

Stefan Hollands, Akihiro Ishibashi|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 18

一句话总结

本文针对 d > 4 的偶数维时空，使用共形无穷远方法，提出了在光锥无穷远处渐近平坦性的几何定义。它推导出一个共轭于渐近时间平移的哈密顿生成元，从而在高维中定义了一个明显正定的邦迪能量，该能量推广了四维情形的概念，并确保能量通量始终为正。由于引力微扰的衰减速率行为不同，该公式在定性上与 d=4 情况存在差异。

ABSTRACT

We give a geometrical definition of the asymptotic flatness at null infinity in spacetimes of even dimension $d$ greater than 4 within the framework of conformal infinity. Our definition is shown to be stable against perturbations to linear order. We also show that our definition is stringent enough to allow one to define the total energy of the system viewed from null infinity as the generator conjugate to an asymptotic time translation. We derive an expression for the generator conjugate within the Hamiltonian framework, and propose to take this notion of energy as the natural generalisation of the Bondi energy to higher dimensions. Our definitions of asymptotic flatness and the Bondi energy formula differ qualitatively from the corresponding definitions in $d=4$; although the asymptotic structure of null infinity in higher dimensions parallels that in 4-dimensions in some ways, the latter seems to be a rather special case on the whole compared to general $d>4$. Our definitions and constructions do not work in odd spacetime dimensions, essentially because the unphysical metric seems to have insufficient regularity properties at null infinity in that case.

研究动机与目标

• 使用共形无穷远方法，为 d > 4 的偶数维时空定义光锥无穷远处的渐近平坦性。
• 确保该定义在线性微扰下保持稳定。
• 构造一个与渐近时间平移共轭的哈密顿生成元，从而在高维中定义总能量（邦迪能量）。
• 将四维邦迪能量概念推广至 d > 4，揭示其在衰减速率行为和结构上的定性差异。
• 通过哈密顿方法建立引力辐射中明显正定的能量通量。

提出的方法

• 使用时空的共形紧化，引入非物理度量 g_ab = Ω² g̃_ab，将光锥无穷远映射至有限边界。
• 对非物理度量及其导数施加衰减速率条件，特别是 n_a n^a = O(Ω^{(d+2)/2}) 和 ∇_a n_b = O(Ω^{(d-2)/2})，以定义渐近平坦性。
• 应用沃尔德-祖帕斯哈密顿框架，推导出与渐近时间平移 ξ^a 共轭的生成元 H_ξ。
• 通过光锥无穷远截面的积分表达邦迪能量公式，涉及里奇张量、外尔张量和辐射张量 N_ab。
• 通过施加对背景度量的共形规范条件，固定共形规范，确保能量表达式的一致性和唯一性。
• 以 Ω^{-(d-4)} 显式依赖形式，将能量表达为外尔张量的库仑部分与通过辐射张量 N_ab 表示的辐射贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 d > 4 的偶数维时空中，一致地定义光锥无穷远处的渐近平坦性？
• RQ2 邦迪能量在高维中的正确推广形式是什么？它与四维情形有何不同？
• RQ3 所提出的能量定义在 d > 4 下是否对线性微扰保持稳定？
• RQ4 能否通过哈密顿方法在高维中推导出引力辐射的明显正定能量通量？
• RQ5 为何 d > 4 的定义与公式在定性上与 d = 4 情况不同，特别是在引力场衰减速率行为方面？

主要发现

• 所提出的渐近平坦性定义在偶数维 d > 4 下对线性微扰保持稳定。
• 在 d > 4 下，邦迪能量由一个哈密顿生成元给出，该生成元明确通过外尔张量和辐射张量分离了库仑部分与辐射部分。
• 对于未来方向的时间平移，通过光锥无穷远的能量通量始终为正，确保了物理一致性。
• 在 d 维史瓦西时空下，邦迪能量退化为 c(d−2)A_{d−2}/(16πG)，与 ADM 质量一致，验证了自洽性。
• 该公式在定性上与四维情形不同，其中里奇项被 S_ab 和 ρ_ab 的组合所取代，表明高维中具有不同的渐近结构。
• 该方法在奇数时空维度下失效，原因在于非物理度量在光锥无穷远处的正则性不足。