[论文解读] Asymptotic formula for subordinated random walks

Alexander Bendikov, Wojciech Cygan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了通过离散子过程对时间进行时变的简单对称随机游动的转移函数的渐近公式。在增量属于对称 α-稳定分布域吸引的条件下，本文推导出类似于对称 α-稳定过程的公式，将经典极限定理推广至子过程离散化的情形。

ABSTRACT

We consider a random walk $(S_{ au _n} : n \in \mathbb{N})$ obtained from the simple random walk $(S_n : n \in \mathbb{N})$ by a discrete time version of Bochner's subordination. Under certain conditions on the subordinator $( au_n : n \in \mathbb{N})$ the increments of $(S_{ au _n}:n\in\mathbb{N})$ belong to the domain of attraction $\mathcal{D}(\alpha )$ of the symmetric $\alpha $-stable law. We prove an asymptotic formula for the transition function of $(S_{ au _n} : n\in \mathbb{N})$ similar to that of the symmetric $\alpha$-stable process.

研究动机与目标

• 分析离散时间子过程随机游动的标度极限。
• 确定子过程增量属于对称 α-稳定分布域吸引 D(α) 的条件。
• 推导出与连续对称 α-稳定过程相似的子过程转移函数的渐近公式。
• 将经典极限定理推广至随机游动的离散子过程设定。

提出的方法

• 研究采用 Bochner 子过程的离散版本，对简单对称随机游动进行时间时变。
• 通过分析子过程的特征函数，确定其收敛于对称 α-稳定分布。
• 该方法依赖于子过程 (τₙ) 的条件，以确保 S_{τₙ} 的增量属于对称 α-稳定分布的域吸引 D(α)。
• 利用稳定分布的性质和依分布收敛性，对转移函数进行渐近分析。
• 推导过程运用了无限可分性和正常变异性技术，以建立渐近形式。
• 关键结果是当 n → ∞ 时，P(S_{τₙ} = x) 的渐近公式，其形式类似于对称 α-稳定过程的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种子过程 τₙ 条件下，子过程随机游动 S_{τₙ} 的增量属于对称 α-稳定分布的域吸引 D(α)？
• RQ2 能否推导出 S_{τₙ} 转移函数的渐近公式，使其形式与对称 α-稳定过程相匹配？
• RQ3 离散时间子过程如何影响随机游动的标度行为和极限分布？
• RQ4 当 n → ∞ 时，转移概率 P(S_{τₙ} = x) 的精确渐近形式是什么？

主要发现

• 子过程随机游动 S_{τₙ} 的转移函数具有渐近公式，其形式与对称 α-稳定过程的密度非常相似。
• 该渐近公式在确保 S_{τₙ} 的增量属于对称 α-稳定分布域吸引 D(α) 的条件下成立。
• 通过特征函数分析和正常变异性技术，建立了向稳定分布的收敛性。
• 该结果将经典极限定理推广至离散子过程框架，为离散与连续稳定过程之间建立了桥梁。
• 转移概率的渐近行为由 α-稳定标度支配，其形式为 P(S_{τₙ} = x) ∼ C |x|^{-(1+α)}，当 |x| → ∞ 且 n → ∞ 时，其中常数 C 依赖于 α。
• 该方法证实，离散子过程保持了 α-稳定分布所特有的重尾标度特性。