[论文解读] Asymptotic formulas for spectral gaps and deviations of Hill and 1D Dirac operators

Plamen Djakov, Boris Mityagin|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文推导了一维 Hill算子和Dirac算子在周期、反周期及Dirichlet边界条件下谱间隙 $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ 与偏离量 $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ 的渐近公式。通过势函数的傅里叶分析，建立了以势函数傅里叶系数表示的精确渐近行为，尤其针对三角多项式势函数，将谱几何与势函数的光滑性及解析性联系起来。

ABSTRACT

Let $L$ be the Hill operator or the one dimensional Dirac operator on the interval $[0,π].$ If $L$ is considered with Dirichlet, periodic or antiperiodic boundary conditions, then the corresponding spectra are discrete and for large enough $|n|$ close to $n^2 $ in the Hill case, or close to $n, \; n\in \mathbb{Z}$ in the Dirac case, there are one Dirichlet eigenvalue $μ_n$ and two periodic (if $n$ is even) or antiperiodic (if $n$ is odd) eigenvalues $λ_n^-, \, λ_n^+ $ (counted with multiplicity). We give estimates for the asymptotics of the spectral gaps $γ_n = λ_n^+ - λ_n^-$ and deviations $ δ_n =μ_n - λ_n^+$ in terms of the Fourier coefficients of the potentials. Moreover, for special potentials that are trigonometric polynomials we provide precise asymptotics of $γ_n$ and $δ_n.$

研究动机与目标

• 推导Hill算子与一维Dirac算子在周期、反周期及Dirichlet边界条件下的谱间隙 $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ 与偏离量 $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ 的渐近公式。
• 通过势函数的傅里叶系数，建立 $\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 衰减速率与势函数光滑性及解析性之间的关联。
• 当势函数为三角多项式时，提供 $\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 的精确渐近展开。
• 将谱几何与势函数正则性之间的联系从自伴情形推广至复值势函数。
• 通过傅里叶分析方法，利用谱数据刻画 $C^\infty$ 与解析势函数，推广反谱理论中的结果。

提出的方法

• 通过势函数 $v(x)$ 的傅里叶分析，推导在周期、反周期及Dirichlet边界条件下特征值的渐近展开。
• 定义谱泛函 $\beta_n^\pm(z)$ 以编码谱数据，并利用其渐近行为推导 $\gamma_n$ 与 $\delta_n$。
• 采用拟导数形式化方法，使谱问题与基于 $L^2$ 的傅里叶方法兼容。
• 对足够光滑的势函数，建立渐近等价关系 $\beta_n^\pm(z) \sim V(\pm 2n)$，其中 $V(k)$ 为 $v$ 的傅里叶系数。
• 运用复分析技术处理谱泛函中平方根的分支选择问题，这对推导 $\delta_n$ 公式至关重要。
• 利用关系式 $\mu_n - \lambda_n^+ \sim \frac{1}{2}(\beta_n^+ - \beta_n^-)$ 及类似恒等式，从谱泛函行为推导偏离量的渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hill算子与Dirac算子的谱间隙 $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ 的渐近行为如何通过势函数的傅里叶系数表达？
• RQ2 Dirichlet与周期/反周期特征值的偏离量 $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ3 能否通过 $\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 的衰减速率刻画势函数的光滑性与解析性？
• RQ4 当势函数为三角多项式时，$\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 的精确渐近公式是什么？
• RQ5 在 $\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 的渐近项中，符号与相位如何依赖于势函数导数阶数 $m$ 的奇偶性？

主要发现

• 当势函数 $v$ 的 $m$ 阶导数属于 $L^2$ 时，若 $m$ 为奇数，则谱间隙满足 $\gamma_n \sim \pm \frac{2/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$。
• 当 $m$ 为偶数时，$\gamma_n \sim \pm \frac{2i/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$，主导项为纯虚数。
• 偏离量 $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ 满足 $\delta_n \sim \mp \frac{i/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$（当 $m$ 为偶数），其符号依赖于谱分支。
• 当 $m$ 为奇数且 $n$ 属于某个正密度集合 $\Delta$ 时，若 $\gamma_n$ 的主导项符号为正，则 $\delta_n \sim \frac{2/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$。
• 当 $m$ 为偶数时，$\mu_n - \frac{1}{2}(\lambda_n^- + \lambda_n^+)$ 无渐近公式，因为 $\beta_n^- + \beta_n^+ = o(1)$ 导致抵消。
• 对于三角多项式势函数，$\gamma_n$ 与 $\delta_n$ 的渐近行为由势函数的傅里叶系数显式决定，具有精确的幂律衰减速率。