[论文解读] Asymptotic Independence ex machina -- Extreme Value Theory for the Diagonal BEKK-ARCH(1) Model

Sebastian Mentemeier, Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文证明，在对角线 BEKK-ARCH(1) 及相关 SRE 模型中，尽管共享相同的驱动创新，但具有不同尾指数的分量在极端值下仍表现出渐近独立性。通过向量缩放正则变异性，证明当尾指数不同时，极值依赖性会消失，即使在创新结构中存在完全依赖关系。

ABSTRACT

We consider multivariate stationary processes $(\boldsymbol{X}_t)$ satisfying a stochastic recurrence equation of the form $$ \boldsymbol{X}_t= \mathbb{ M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t,$$ where $(\boldsymbol{Q}_t)$ are iid random vectors and $$ \mathbb{M}_t=\mathrm{Diag}(b_1+c_1 M_t, \dots, b_d+c_d M_t) $$ are iid diagonal matrices and $(M_t)$ are iid random variables. We obtain a full characterization of the multivariate regular variation properties of $(\boldsymbol{X}_t)$, proving that coordinates $X_{t,i}$ and $X_{t,j}$ are asymptotically independent even though all coordinates rely on the same random input $(M_t)$. We describe extremal properties of $(\boldsymbol{X}_t)$ in the framework of vector scaling regular variation. Our results are applied to some multivariate autoregressive conditional heteroskedasticity (BEKK-ARCH and CCC-GARCH) processes.

研究动机与目标

• 刻画具有共同驱动创新的对角线随机递归方程（SRE）的多变量正则变异性性质。
• 研究多变量 GARCH 型模型中边际尾指数不同时分量的联合极值行为。
• 解决一个悖论：即依赖于相同创新的分量在极端值下可表现出渐近独立性。
• 将向量缩放正则变异性（VSRV）扩展至平稳马尔可夫链，以建模非标准极值依赖性。
• 为在危机期间具有不同风险特征的金融时间序列中建模异质尾行为提供理论基础。

提出的方法

• 分析对角线 SRE 模型 $\boldsymbol{X}_t = \mathbb{M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t$，其中 $\mathbb{M}_t = \mathrm{Diag}(b_1 + c_1 M_t, \dots, b_d + c_d M_t)$ 且 $M_t$ 为独立同分布。
• 应用 Kesten-Goldie 定理推导边际尾指数 $\alpha_i$，满足 $\mathbb{E}[|b_i + c_i M_0|^{\alpha_i}] = 1$。
• 使用向量缩放正则变异性（VSRV）描述联合尾部行为，替代对帕累托型边际分布的非标准正则变异性。
• 通过递归动态 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t = \mathbb{M}_t \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{t-1}$ 在 $\alpha_1$-倾斜测度下推导谱尾过程 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t$。
• 利用 Hoeffding 引理和矩生成函数界，证明在极值状态下类似鞅序列的指数衰减。
• 通过证明 $\mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) \to 0$ 当 $x \to \infty$ 时，建立渐近独立性，其中 $\alpha_1 > \alpha_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有相同驱动创新的多变量 SRE 模型分量是否可能在极端值下表现出渐近独立性？
• RQ2 对角线 BEKK-ARCH(1) 过程的联合极值行为如何依赖于 $b_i, c_i$ 的相对值及尾指数 $\alpha_i$？
• RQ3 当边际尾指数不同时，向量缩放正则变异性（VSRV）在刻画极值依赖性方面起什么作用？
• RQ4 在什么条件下谱向量 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ 集中于坐标轴上，表明渐近独立性？
• RQ5 如何刻画具有非 i.i.d. 对角系数和不同尾指数的 SRE 的谱尾过程？

主要发现

• 当 $c_2/c_1 > b_2/b_1 \geq 1$ 且 $c_1 > 0$ 时，分量 $X_{0,1}$ 和 $X_{0,2}$ 渐近独立，且 $\lim_{x\to\infty} \mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) = 0$。
• 谱向量 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ 几乎必然位于 $\{(1,0), (0,1)\}$，在二元情况下确认了渐近独立性。
• 即使 $Q_{1,t} = Q_{2,t}$，分量仍因尾指数 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 而保持渐近独立。
• 该模型表现出向量缩放正则变异性（VSRV），即使输入创新相同，也能允许非标准的极值依赖结构。
• 当尾指数相等（$\alpha_i = \alpha_j$）时，谱向量可能具有非退化的支撑，表明可能存在极值依赖性。
• 证明依赖于在 $\alpha_1$-倾斜测度下对 $\Delta W_k = \log((b_2 + c_2 M_k)/(b_1 + c_1 M_k))$ 的矩生成函数进行有界，表明其衰减至零。