[论文解读] Asymptotic Intermediate Efficiency of the Chi-square and Likelihood Ratio Goodness of Fit Tests

Sherzod M. Mirakhmedov|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文分析了在组数不断增加的分组数据下，卡方检验与似然比拟合优度检验在局部备择假设下的渐近中间效率（AIE）。在正则条件下，证明了两种检验的AIE相同，确认了当样本量与组数成比例增长时，它们在检测局部偏离方面具有渐近等价性。

ABSTRACT

The problem of testing the goodness of fit of an absolutely continuous distribution to a set of observations grouped into equal probability intervals, against to a family of sequences of alternatives approaching the hypothesis is considered. We focus our study to the asymptotic intermediate efficiency (AIE) due to Inglot (1999) of the chi-squared and log-likelihood ratio tests. It is assumed that the number of groups increases together with the number of observations.

研究动机与目标

• 评估卡方检验与似然比检验在拟合优度检验中的渐近中间效率（AIE）。
• 研究当组数与样本量成比例增加时，这些检验的行为特征。
• 评估在趋近原假设的局部替代序列下，两种检验的相对表现。
• 建立两种检验达到相同AIE的条件，从而确认其在检测局部偏离方面的渐近等价性。

提出的方法

• 分析基于Inglot（1999）定义的渐近中间效率（AIE）框架，聚焦于局部备择假设。
• 将数据分组为等概率区间，确保期望单元频数随样本量增长。
• 组数随样本量增加，保持n与k（组数）同时趋于无穷的平衡渐近框架。
• 利用局部渐近正态性和基于得分的近似，推导在局部备择假设下检验统计量的渐近分布。
• 通过特定归一化下，检验统计量的局部渐近功效与最优检验功效之比的极限，计算AIE。
• 通过渐近展开并比较在局部备择假设下两种检验的得分统计量，确立其AIE的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部备择假设下，卡方检验与似然比检验的渐近中间效率（AIE）如何比较？
• RQ2 当样本量与组数成比例增加时，两种检验的AIE的极限行为如何？
• RQ3 在何种正则条件下，卡方检验与似然比检验达到相同的AIE？
• RQ4 将数据分组为等概率区间是否会影响两种检验的渐近等价性？
• RQ5 检验统计量的选择如何影响在拟合优度设定中对局部偏离的检测能力？

主要发现

• 在相同正则条件下，卡方检验与似然比检验的渐近中间效率（AIE）完全相同。
• 随着样本量与组数成比例增加，两种检验的AIE收敛到同一极限。
• 即使数据被分组为等概率区间，两种检验的AIE等价性依然成立，且渐近效率得以保持。
• 在局部备择假设下，两种检验统计量的渐近分布均为正态分布，且极限方差相同。
• 结果表明，在所考虑的渐近框架下，似然比检验在AIE方面并不优于卡方检验。
• 研究结果支持在大样本、分组数据情形下，卡方检验作为似然比检验的有效且高效的替代方法。