[论文解读] Asymptotic invariants of base loci

Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld+3 more|ArXiv.org|Aug 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了射影代数簇上大除子的基簇的渐近不变量，重点关注离散赋值下的渐近零点阶。研究结果表明，这些不变量仅依赖于数值等价类，并且连续变化，扩展了关于基簇和乘子理想之前的结果，应用于体积函数和莫里梦想空间上的分段多项式行为。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to define and study systematically some asymptotic invariants associated to base loci of line bundles on smooth projective varieties. We distinguish an open dense subset of the real big cone, called the stable locus, consisting of the set of classes on which the asymptotic base locus is locally constant. The asymptotic invariants define continuous functions on the big cone, whose vanishing characterizes, roughly speaking, the unstable locus. We show that for toric varieties at least, there exists a polyhedral decomposition of the big cone on which these functions are polynomial.

研究动机与目标

• 定义并系统研究射影代数簇上线性系统基簇相关的渐近不变量。
• 理解这些不变量（特别是渐近零点阶）在数值等价和ample除子扰动下的行为。
• 将中岛等人关于 $σ_E(D)$ 的结果推广到一般的离散赋值和实除子类。
• 分析增强与受限基簇的结构，表明它们仅依赖于数值类。
• 在线性系统有限生成的假设下，建立体积函数的分段多项式行为。

提出的方法

• 为大 $\mathbb{Q}$-除子 $D$ 和离散赋值 $v$ 定义渐近零点阶 $v(\|D\|) = \lim_{p \to \infty} \frac{v(|pD|)}{p}$。
• 证明 $v(\|D\|)$ 仅依赖于 $D$ 的数值等价类，并在 $\operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 上连续延拓。
• 引入增强基簇 $\mathbf{B}_+(D) = \bigcap_A \mathbf{B}(D - A)$ 和受限基簇 $\mathbf{B}_{--}(D) = \bigcup_A \mathbf{B}(D + A)$，其中 $A$ 遍历 ample 除子。
• 证明 $\mathbf{B}_+(D)$ 和 $\mathbf{B}_{--}(D)$ 仅依赖于 $D$ 的数值类，从而可延拓至实类。
• 利用富田逼近定理和双有理模型，通过 $(L^{[n]}) = (M^n)$ 表达体积，其中 $M = \pi^*L - F$。
• 通过闭大锥 $\overline{\operatorname{Big}(X)}_{\mathbb{R}}$ 的扇形细分证明体积与渐近不变量的分段多项式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 渐近不变量如 $v(\|D\|)$ 作为大除子 $D$ 的数值类的函数，其行为如何？
• RQ2 稳定基簇 $\mathbf{B}(D)$ 是否可被 $\mathbf{B}_+(D)$ 和 $\mathbf{B}_{--}(D)$ 等数值上良好的近似替代？
• RQ3 在何种条件下，体积函数 $\operatorname{vol}(L)$ 在大锥上为分段多项式？
• RQ4 渐近不变量在何种程度上可通过双有理模型上线性系统的计算来定义和计算？
• RQ5 赋值 $v$ 的中心与 $\xi \in \operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 的 $v(\|\xi\|)$ 非零之间的关系是什么？

主要发现

• 渐近零点阶 $v(\|D\|)$ 仅依赖于 $D$ 的数值等价类，并唯一连续延拓至 $\operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 上的函数。
• $\mathbf{B}_+(D)$ 和 $\mathbf{B}_{--}(D)$ 对实类 $\xi \in \operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 有良好定义，且仅依赖于数值等价。
• 当 $X$ 为光滑代数簇时，$v(\|\xi\|) > 0$ 当且仅当 $v$ 的中心 $Z$ 包含于 $\mathbf{B}_{--}(\xi)$ 中。
• 当 $X$ 的线性系统有限生成时，体积函数 $\operatorname{vol}(L)$ 关于 $\overline{\operatorname{Big}(X)}_{\mathbb{R}}$ 的扇形细分是分段多项式。
• 在适当条件下，渐近不变量 $\widetilde{\operatorname{e}_Z}(m)$ 在大锥的扇形细分的每个锥上为 $d$ 次多项式。
• 体积满足 $\operatorname{vol}(L) = \sup_m \frac{((mL)^{[n]})}{m^n}$，其中 $(L^{[n]})$ 通过解析 $L$ 的基理想之双有理模型定义。