[论文解读] Asymptotic isoperimetry on groups and uniform embeddings into Banach spaces

Romain Tessera|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 20

一句话总结

本文表征了均匀嵌入到 $L^p$-空间的渐近压缩率，适用于一大类群，包括可解连通李群和双曲群。通过利用球内 $L^p$-等周轮廓的渐近下界，构造了在 $L^p$-空间上的仿射等距作用，证明了这些群的希尔伯特压缩率恰好为 1，并为无限 3-正则树嵌入 $L^p$-空间提供了最优估计。

ABSTRACT

We characterize the asymptotic behaviour of the compression associated to a uniform embedding into some Lp-space for a large class of groups including connected Lie groups with exponential growth and word-hyperbolic finitely generated groups. In particular, the Hilbert compression rate of these groups is equal to 1. This also provides new and optimal estimates for the compression of a uniform embedding of the infinite 3-regular tree into some Lp-space. The main part of the paper is devoted to the explicit construction of affine isometric actions of amenable Lie groups on Lp-spaces whose compressions are asymptotically optimal. These constructions are based on an asymptotic lower bound of the Lp-isoperimetric profile inside balls. We compute this profile for all amenable connected Lie groups and for all finite p, providing new geometric invariants of these groups. We also relate the Hilbert compression rate with other asymptotic quantities such as volume growth and probability of return of random walks.

研究动机与目标

• 表征一类广泛群（包括具有指数增长的连通李群和有限生成的双曲群）在均匀嵌入到 $L^p$-空间时的 $L^p$-压缩的渐近行为。
• 通过几何与分析技术，为无限 3-正则树在 $L^p$-空间中的嵌入建立最优压缩估计。
• 利用球内 $L^p$-等周轮廓的渐近行为，为可解连通李群在 $L^p$-空间上构造渐近最优压缩的仿射等距作用。
• 将希尔伯特压缩率与体积增长、随机游动返回概率等几何不变量联系起来。
• 通过 $1 \leq p < \infty$ 时 $L^p$-等周轮廓的渐近计算，为可解连通李群提供新的几何不变量。

提出的方法

• 引入球内的 $L^p$-等周轮廓 $J_G^{b,p}$，并通过比较估计将其与最大 $L^p$-压缩函数 $M\rho_{G,p}$ 关联。
• 利用可控的 Følner 对列，为可解群推导出球内 $L^p$-等周轮廓的渐近下界。
• 通过利用 $L^p$-等周轮廓的渐近行为，显式构造可解连通李群在 $L^p$-空间上的仿射等距作用。
• 在半直积 $\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$ 中应用赫尔德不等式和词长估计，推导出压缩函数的下界。
• 通过定义序列 $\xi_j$ 满足 $\xi_{j+1} - \xi_j = \frac{1}{j^p} \frac{f(j)}{j}$，构造从 3-正则树到 $\ell^p(T)$ 的利普希茨映射，控制其 $\ell^p$-范数增长。
• 利用条件 $\int_1^\infty \left( \frac{f(t)}{t} \right)^p \frac{dt}{t} < \infty$ 确保具有预定压缩行为的 1-上循环的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可解连通李群和双曲群，均匀嵌入到 $L^p$-空间时，$L^p$-压缩的可能渐近行为有哪些？
• RQ2 球内的 $L^p$-等周轮廓如何与最大 $L^p$-压缩函数 $M\rho_{G,p}$ 相关联？
• RQ3 能否为可解连通李群在 $L^p$-空间上构造具有渐近最优压缩的仿射等距作用？
• RQ4 无限 3-正则树在均匀嵌入到 $L^p$-空间时，最优压缩率是多少？
• RQ5 希尔伯特压缩率如何与体积增长和这些群上随机游动的返回概率相关联？

主要发现

• 对于类 $(\mathcal{L})$ 中的所有群，包括可解连通李群和有限生成的双曲群，希尔伯特压缩率恰好为 1。
• 对于 $\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$，其最大 $L^p$-压缩函数满足 $M\rho_{G,p}(t) \succeq t^{p/(2p-1)}$，其中 $1 \leq p < \infty$。
• 对于可解连通李群，球内的 $L^p$-等周轮廓对所有 $1 \leq p < \infty$ 渐近计算完成，从而产生新的几何不变量。
• 对于任意递增的次线性函数 $h$，存在满足可积性条件 $(C_p)$ 的函数 $f$，使得对某序列 $n_i$ 有 $f(n_i) \geq c h(n_i)$，从而可构造出具有间隙压缩特性的上循环。
• 通过从 3-正则树到 $\ell^p(T)$ 的利普希茨映射 $F$，对无限 3-正则树在 $L^p$-空间中的压缩进行了最优估计，满足 $\|F(x) - F(y)\|_p^p \geq \sum_{j=0}^n \xi_j^p$，其中 $\xi_j$ 的增长类似于 $f(j)/j$。
• 希尔伯特压缩率与体积增长和随机游动的返回概率相关联，本文通过 $M\rho_{G,2}$ 的渐近行为建立了这些联系。