[论文解读] Asymptotic K-theory for groups acting on $ ildeA_2$ buildings

Guyan Robertson, Tim Steger|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过高秩 Cuntz-Krieger 代数的结构，计算了与在 $\widetilde{A}_2$ 建筑上自由作用的无 torsion 晶格 $\Gamma$ 相关的交叉积 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 的 K-理论。结果表明，若 $q \not\equiv 1 \pmod{3}$，则 $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 是阶为 $q-1$ 的挠元；若 $q \equiv 1 \pmod{3}$，则阶为 $(q-1)/3$，从而为这类代数提供了完整的分类不变量。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a torsion free lattice in $G=\PGL(3,{\mathbb F})$ where ${\mathbb F}$ is a nonarchimedean local field. Then $Γ$ acts freely on the affine Bruhat-Tits building ${\mathcal B}$ of $G$ and there is an induced action on the boundary $Ω$ of ${\mathcal B}$. The crossed product $C^*$-algebra ${\mathcal A}(Γ)=C(Ω) times Γ$ depends only on $Γ$ and is classified by its K-theory. This article shows how to compute the K-theory of ${\mathcal A}(Γ)$ and of the larger class of rank two Cuntz-Krieger algebras.

研究动机与目标

• 计算无 torsion 晶格 $\Gamma$ 在 $\widetilde{A}_2$ 建筑上作用时，交叉积 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 的 K-理论。
• 通过其 K-理论对这类代数进行分类，特别关注 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 中恒等元类 $[\mathbf{1}]$ 的阶。
• 证明 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 的 K-理论能够区分非同构的晶格，即使其约化群 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 的 K-理论无法做到。
• 建立当 $q \neq 2,4$ 时，由于 $K_0$ 中存在挠元，代数 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 不同构于任何秩一 Cuntz-Krieger 代数。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 是高秩 Cuntz-Krieger 代数的事实，其为纯无限、简单且核的，且与某个 AF 代数的 $\mathbb{Z}^2$ 交叉积稳定同构。
• 应用 [RS2] 中的结构理论，将 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 实现为与 $\mathcal{F} \rtimes \mathbb{Z}^2$ 稳定同构，其中 $\mathcal{F} = \varinjlim \mathcal{C}^{(m)}$，且 $\mathcal{C}^{(m)} \cong \bigoplus_{a \in A} \mathcal{K}(\mathcal{H}_a)$。
• 通过矩阵 $\begin{smallmatrix} I - M_1, & I - M_2 \end{smallmatrix}$ 的余核计算 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$，其中 $M_1, M_2$ 是编码建筑几何的关联矩阵。
• 利用 $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 与余核中 $\sum_{a \in A} e_a$ 的像之间的识别关系，并通过同态到 $\mathbb{Z}/(q^2 - 1)\mathbb{Z}$ 分析其阶。
• 采用组合计数关联关系：每个 $[\mathbf{1}_a]$ 可表示为 $q^2$ 项 $[\mathbf{1}_b]$ 的和，从而导出关系 $[\mathbf{1}] = q^2 [\mathbf{1}]$，因此 $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$。
• 通过计算最大公因数 $\gcd(q^2 - 1, 3(q+1))$ 分析 $[\mathbf{1}]$ 的阶，结果根据 $q \bmod 3$ 的不同，得到 $q-1$ 或 $(q-1)/3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 $\widetilde{A}_2$ 建筑上作用的无 torsion 晶格 $\Gamma$，交叉积 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 的 K-理论是什么？
• RQ2 在 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 中，恒等元类 $[\mathbf{1}]$ 的阶如何依赖于建筑的阶 $q$？
• RQ3 当约化群 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 无法区分时，$\mathcal{A}(\Gamma)$ 的 K-理论能否区分非同构的晶格 $\Gamma$？
• RQ4 当 $q \neq 2,4$ 时，$\mathcal{A}(\Gamma)$ 是否同构于某个秩一 Cuntz-Krieger 代数？
• RQ5 对于在阶为 $q$ 的 $\widetilde{A}_2$ 建筑上作用的 $\Gamma$，恒等元类 $[\mathbf{1}]$ 在 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 中的精确阶是多少？

主要发现

• 恒等元类 $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 满足 $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$，表明其为挠元。
• 当 $q \not\equiv 1 \pmod{3}$ 时，$[\mathbf{1}]$ 的阶恰好为 $q - 1$；当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时，阶恰好为 $(q - 1)/3$，该结论基于计算证据与结构分析。
• 当 $q = 2$ 时，$[\mathbf{1}] = 0$；当 $q = 3$ 时，$[\mathbf{1}]$ 的阶为 2。
• 当 $q \neq 2, 4$ 时，由于 $K_0$ 中存在挠元，代数 $\mathcal{A}(\Gamma)$ 不同构于任何秩一 Cuntz-Krieger 代数。
• $\mathcal{A}(\Gamma)$ 的 K-理论能够区分 $\mathrm{PGL}(3, \mathbb{Q}_2)$ 中两个非同构的无 torsion 晶格，即使它们的约化群 $C^*$-代数具有同构的 K-理论。
• 在八种此类群中，$q = 2$ 时的群 B.3 是唯一一个 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 为无挠的群，暗示此类群的稀有性。