[论文解读] Asymptotic measures for hyperbolic piecewise smooth mappings of a rectangle

Michael Jakobson, Sheldon E. Newhouse|Apr 22, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文证明了在导数无界的分段光滑$C^2$映射类中，Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度的存在性。通过为具有奇点的非可逆映射发展稳定与不稳定流形理论，作者将一维绝对连续不变测度的 folklore 定理推广至高维、非可逆及非一致双曲系统。

ABSTRACT

We prove the existence of Sinai-Ruelle-Bowen measures for a class of $C^2$ self-mappings of a rectangle with unbounded derivatives. The results can be regarded as a generalization of a well-known one dimensional Folklore Theorem on the existence of absolutely continuous invariant measures. In an earlier paper analogous results were stated and the proofs were sketched for the case of invertible systems. Here we give complete proofs in the more general case of noninvertible systems, and, in particular, develop the theory of stable and unstable manifolds for maps with unbounded derivatives.

研究动机与目标

• 将经典的一维绝对连续不变测度folklore定理推广至高维、非可逆、分段光滑动力系统。
• 为导数无界的矩形$C^2$映射建立Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度的存在性。
• 在导数无界与非可逆性存在的情况下，建立稳定与不稳定流形的严格理论。
• 将先前针对可逆系统的结论推广至更广泛的非可逆、双曲、分段光滑映射类。
• 在导数不一致有界的情形下，为物理测度的存在性提供完整证明。

提出的方法

• 采用双曲动力系统的框架，并引入几何方法以处理分段光滑映射中的无界导数。
• 即使导数无界，也利用锥场与畸变估计构造局部稳定与不稳定流形。
• 应用符号动力学与适用于具有奇点和非一致双曲性的系统的马尔可夫划分方法。
• 采用Young塔构造的变体以分析系统的统计性质，并证明SRB测度的存在性。
• 证明在具有正Lyapunov指数的双曲集上，存在有限个遍历的Sinai-Ruelle-Bowen测度。
• 将物理测度（SRB测度）作为具有混沌行为的耗散动力系统自然不变测度的概念加以使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导数无界的分段光滑、非可逆、$C^2$映射中，矩形映射在何种条件下允许存在SRB测度？
• RQ2 稳定与不稳定流形理论如何推广至具有无界导数与非可逆性的系统？
• RQ3 经典的一维绝对连续不变测度folklore定理在多大程度上可推广至高维、非可逆、双曲系统？
• RQ4 证明具有奇点与无界导数系统中物理测度存在的几何与分析工具有哪些？
• RQ5 能否通过改进的Young塔构造证明此类系统中存在有限个SRB测度？

主要发现

• 作者证明了在一类导数无界的分段光滑$C^2$矩形映射中，至少存在一个Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度。
• 为具有无界导数的非可逆映射发展了完整的稳定与不稳定流形理论，扩展了以往仅限于可逆系统的结论。
• SRB测度被证明是物理测度，即它们描述了正勒贝格测度初始条件集合的统计行为。
• 即使在缺乏一致双曲性或有界导数的条件下，只要满足温和的几何与可微性条件，SRB测度的存在性仍可建立。
• 结果将一维绝对连续不变测度folklore定理推广至高维、非可逆及非一致双曲情形。
• 本文提供了完整证明，填补了早期草图中的空白，并将框架扩展至非可逆动力系统。