[论文解读] Asymptotic normality and analysis of variance of log-likelihood ratios in spiked random matrix models

Debapratim Banerjee, Zongming Ma|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文在灵活的信号先验下，建立了多刺随机矩阵模型中对数似然比的渐近正态性，表明其方差在渐近下可分解为双射有符号环路贡献的方差之和。当信噪比低于临界阈值时，该结果成立，意味着原假设与备择假设之间具有邻近性，并将先前关于单刺模型的研究扩展至具有依赖信号分量的一般多刺设置。

ABSTRACT

The present manuscript studies signal detection by likelihood ratio tests in a number of spiked random matrix models, including but not limited to Gaussian mixtures and spiked Wishart covariance matrices. We work directly with multi-spiked cases in these models and with flexible priors on the signal component that allow dependence across spikes. We derive asymptotic normality for the log-likelihood ratios when the signal-to- noise ratios are below certain thresholds. In addition, we show that the variances of the log-likelihood ratios can be asymptotically decomposed as the sums of those of a collection of statistics which we call bipartite signed cycles.

研究动机与目标

• 分析在一般信号先验下，多刺随机矩阵模型中似然比检验的渐近行为。
• 将现有关于单刺模型的渐近正态性结果，扩展至具有依赖信号分量的多刺模型。
• 通过双射有符号环路的贡献分解，表征对数似然比的方差。
• 在信噪比低于临界阈值时，建立原假设与备择分布之间的邻近性。

提出的方法

• 作者分析了两种模型中的似然比检验：具有通用信号先验的未归一化和归一化刺模型。
• 在高维情形下，即当 p/n → γ ∈ (0, ∞) 时，推导了对数似然比的渐近分布。
• 利用随机矩阵理论和邻近性理论的工具，证明当信噪比低于阈值时，原假设下对数似然比的对数似然比弱收敛于正态分布。
• 证明了对数似然比的方差在渐近下可分解为一类称为“双射有符号环路”的统计量的方差之和。
• 该分析依赖于 L² 范数下似然比的收敛性以及有限维投影的弱收敛性，结合法图引理和鞅收敛论证。
• 通过在信号矩阵及其奇异向量上采用灵活的先验，该框架可容纳依赖的信号分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有通用信号先验的多刺随机矩阵模型中，对数似然比在何种条件下渐近服从正态分布？
• RQ2 在这些模型中，对数似然比的方差如何渐近分解？
• RQ3 信噪比在决定原假设与备择分布的邻近性与渐近奇异之间起什么作用？
• RQ4 渐近正态性结果能否推广至各刺之间存在依赖信号分量的模型？
• RQ5 双射有符号环路的贡献如何表征对数似然比的总方差？

主要发现

• 当信噪比低于临界阈值时，原假设下对数似然比渐近服从正态分布，意味着原假设与备择测度之间具有邻近性。
• 对数似然比的方差在渐近下可分解为一组称为“双射有符号环路”的统计量的方差之和。
• 渐近正态性在未归一化和归一化刺模型中均成立，包括高斯混合模型和刺状 Wishart 协方差矩阵。
• 该结果将先前关于单刺模型的发现推广至具有灵活、可能依赖的信号先验的多刺情形。
• 似然比在 L² 范数下收敛，并弱收敛于一个极限，其分布与无限乘积的指数鞅项一致。
• 分析确认，邻近性的临界阈值取决于信号的谱结构以及信号分量的先验分布。