[论文解读] Asymptotic Normality of Random Sums of m-dependent Random Variables

Ümi̇t Işlak|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了关于平稳 m-依赖随机变量的随机和的中心极限定理，推广了 Chen 和 Shao 的独立同分布情形结果。在三阶矩条件下，证明了 $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ 的渐近正态性，其方差按 $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)$ 缩放，其中 $N_n$ 为与该过程独立的随机索引。

ABSTRACT

We prove a central limit theorem for random sums of the form $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$, where $\{X_i\}_{i \geq 1}$ is a stationary $m-$dependent process and $N_n$ is a random index independent of $\{X_i\}_{i\geq 1}$. Our proof is a generalization of Chen and Shao's result for i.i.d. case and consequently we recover their result. Also a variation of a recent result of Shang on $m-$dependent sequences is obtained as a corollary. Examples on moving averages and descent processes are provided, and possible applications on non-parametric statistics are discussed.

研究动机与目标

• 将独立同分布随机和的中心极限定理推广至平稳 m-依赖过程的情形。
• 将 Chen 和 Shao 关于独立同分布随机和的结果推广至具有 m-依赖性的依赖设定。
• 恢复并改进关于 m-依赖随机和的早期结果，特别是文献 [13] 中的结果。
• 在弱依赖条件下，提供随机和的方差公式与渐近正态性。
• 探讨在随机样本大小的非参数统计中可能的应用。

提出的方法

• 将 Chen 和 Shao 在独立同分布情形下的证明技术推广至 m-依赖过程。
• 使用 Wald 的恒等式计算随机和的期望 $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N_n} X_i] = n\nu\mu$。
• 利用 m-依赖序列的协方差结构，推导出 $\mathrm{Var}(\sum_{i=1}^{N_n} X_i)$ 的精确方差公式。
• 通过证明归一化标准差几乎必然收敛于渐近标准差，应用 Slutsky 定理。
• 使用指示函数 $\Gamma_{k,j} = \mathbbm{1}(k \geq j+1)$ 处理由有限范围依赖引起的方差计算问题。
• 利用三阶矩条件 $\mathbb{E}|X_1|^3 < \infty$ 和 $\mathbb{E}|Y_1|^3 < \infty$ 控制中心极限定理证明中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当索引 $N_n$ 为随机且独立时，m-依赖随机变量的随机和是否仍满足中心极限定理？
• RQ2 随机和 $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ 的渐近方差如何依赖于 $X_i$ 的依赖结构？
• RQ3 当 $m=0$ 时，独立同分布情形下的中心极限定理是否可作为特例被恢复？
• RQ4 方差表达式中的余项 $\alpha(m)/n$ 的作用是什么？其在渐近下是否趋于零？
• RQ5 该结果能否推广至弱依赖过程，或适用于非参数统计推断？

主要发现

• 归一化和 $\frac{\sum_{i=1}^{N_n} X_i - n\mu\nu}{\sqrt{n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)}}$ 随着 $n \to \infty$ 依分布收敛于标准正态随机变量。
• 和的方差为 $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2) + \alpha(m)$，其中 $\alpha(m)/n \to 0$ 当 $n \to \infty$。
• 当 $m=0$（即独立同分布情形）时，结果退化为经典随机和的中心极限定理，从而恢复了 Chen 和 Shao 的结果。
• 确定和 $\sum_{i=1}^N X_i$ 的方差公式为 $N(\sigma^2 + 2\sum_{j=1}^m a_j \Gamma_{N,j}) - 2\sum_{j=1}^m j a_j \Gamma_{N,j}$。
• 余项 $\alpha(m)$ 有界，且在除以 $n$ 后渐近趋于零，确保主导阶方差占主导地位。
• 示例包括移动平均过程和下降过程，表明该结果在随机样本大小的非参数统计中具有应用前景。