[论文解读] Asymptotic of Number of Similarity Classes of Commuting Tuples

Uday Bhaskar Sharma|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文确定了有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $k$ 个可交换 $n \times n$ 矩阵的联合相似类数的渐近增长速率，表明当 $n$ 和 $q$ 固定时，该数量以 $q^{m(n)k}$ 的速率增长，其中 $m(n) = \lfloor n^2/4 \rfloor + 1$ 是 $M_n(\mathbb{F}_q)$ 中交换子代数的最大维数，增长速率至多相差一个与 $k$ 无关的常数因子。该结果通过表示论技巧与 Burnside 引理推导得出，扩展了关于矩阵 $k$-元组与相似类的先前工作。

ABSTRACT

We have for positive integers $n$, $k$ and finite field $\mathbb{F}_q$, $c(n,k,q)$, as the number of simultaneous similarity classes of $k$-tuples of commuting $n imes n$ matrices over the $\mathbb{F}_q$. In this paper, it has been shown that $c(n,k,q)$ as a function of $k$ for fixed $n$ and $q$ is asymptotically $q^{m(n)k}$, where $m(n) = \left[\frac{n^2}{4} ight] + 1$, which is the dimension of the maximal commutative subalgebra of $M_n(\mathbb{F}_q)$ (the algebra of $n imes n$ matrices over $\mathbb{F}_q$).

研究动机与目标

• 确定当 $k \to \infty$ 时，有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $k$ 个可交换 $n \times n$ 矩阵的联合相似类数的渐近行为。
• 将关于单个矩阵与任意矩阵 $k$-元组的相似类的先前结果，推广至可交换 $k$-元组的情形。
• 在固定 $n$ 与 $q$ 的前提下，确定此类相似类数在 $k$ 上的精确指数增长速率。
• 建立交换子代数最大维数与相似类渐近增长之间的联系。

提出的方法

• 使用 Burnside 引理将联合相似类数表示为涉及中心化子大小的群元素求和。
• 应用 $M_n(\mathbb{F}_q)$ 中交换子代数的最大维数 $m(n) = \lfloor n^2/4 \rfloor + 1$ 作为中心化子维数的关键上界。
• 通过标量矩阵（下界）与真子代数（上界）建立 $c(n,k,q)$ 的上下界。
• 利用子集与二项式系数的组合估计控制 Burnside 求和中各项的增长。
• 通过 $\sum r^j q^{-r}$ 的收敛级数界定控制渐近估计中的误差项。
• 比较可交换 $k$-元组总数 $C(n,k,q)$ 与相似类数 $c(n,k,q)$，表明二者均以 $q^{m(n)k}$ 的速率渐近增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \to \infty$ 时，有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $k$ 个可交换 $n \times n$ 矩阵的联合相似类数的渐近增长速率为何？
• RQ2 在 $M_n(\mathbb{F}_q)$ 中，交换子代数的最大维数 $m(n)$ 如何影响相似类的渐近增长？
• RQ3 对于固定的 $n$ 与 $q$，$c(n,k,q)$ 的渐近增长是否可被 $q^{m(n)k}$ 的常数倍上下界控制？
• RQ4 可交换 $k$-元组的渐近行为与任意 $k$-元组在联合共轭下的行为相比如何？

主要发现

• 有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $n \times n$ 矩阵的可交换 $k$-元组的联合相似类数渐近增长为 $q^{m(n)k}$，其中 $m(n) = \lfloor n^2/4 \rfloor + 1$，至多相差一个与 $k$ 无关的常数因子。
• 当 $n=2$ 时，$c(2,k,q)$ 渐近为 $q^{2k}$；当 $n=3$ 时，$c(3,k,q)$ 渐近为 $q^{3k}$；当 $n=4$ 时，$c(4,k,q)$ 渐近为 $q^{5k}$，与 $m(4)=5$ 一致。
• 下界通过考虑中心化子为完整矩阵代数（大小为 $q^{n^2}$）的标量矩阵建立。
• 上界通过将非标量矩阵的中心化子大小限制在 $q^{n^2 - n + 1}$ 以内，并利用级数 $\sum r^j q^{-r}$ 的收敛性控制非标量共轭类的求和。
• 可交换 $k$-元组的总数 $C(n,k,q)$ 同样渐近增长为 $q^{m(n)k}$，具有相同的指数，这是由于其与 $c(n,k,q)$ 之间存在常数因子关系。
• 该结果推广了关于单个矩阵与任意 $k$-元组的先前工作，表明可交换性将增长指数从 $n^2k$ 降低至 $m(n)k$。