[论文解读] Asymptotic of the distribution and harmonic moments for a supercritical branching process in a random environment

Ion Grama, Quansheng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文在首代无个体灭绝的条件下，建立了随机环境中超临界分支过程的有限时间转移概率 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ 的精确渐近衰减速率。它推导出显式等价形式 $\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$，其中 $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1)$，并通过泛函不等式方法确定了鞅极限 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$ 的调和矩存在的临界值。

ABSTRACT

Let $(Z_n)$ be a supercritical branching process in an independent and identically distributed random environment $ξ$. We show the exact decay rate of the probability $\mathbb{P}(Z_n=j | Z_0 = k)$ as $n o \infty$, for each $j \geq k,$ assuming that $\mathbb{P} (Z_1 = 0) =0$. We also determine the critical value for the existence of harmonic moments of the random variable $W=\lim_{n o\infty}\frac{Z_n}{\mathbb E (Z_n|ξ)}$ under a simple moment condition.

研究动机与目标

• 确定在随机环境中超临界分支过程下，当 $n \to \infty$ 时 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ 的精确渐近行为，其中 $j \geq k$。
• 将先前的对数大偏差结果推广为精确渐近等价形式，改进了 [9] 和 [10] 的结果。
• 在对平均后代数的矩条件最小化的前提下，建立鞅极限 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$ 的调和矩 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 存在性的临界阈值。
• 通过函数方程 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$ 描述生成函数 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$ 的性质，其收敛半径为 1。
• 利用生成函数方法与控制收敛定理，证明渐近概率递推关系解的唯一性。

提出的方法

• 通过系数 $q_j$ 的递归方程组推导渐近等价形式 $\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$，其中 $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1)$。
• 将生成函数 $Q(t)$ 表征为函数方程 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$ 在 $t \in [0,1)$ 上的唯一解，其中 $f_0(t)$ 为给定环境中 $Z_1$ 的生成函数。
• 通过泛函不等式建立调和矩存在的临界值：$\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 当且仅当 $\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$，其中 $m_0 = \mathbb{E}_\xi[Z_1]$。
• 利用从 $k$ 个祖先出发的过程递归分解，导出拉普拉斯变换不等式 $\phi(t) \leq q \mathbb{E}[\phi(Yt)] + C t^{-a}$，从而实现衰减速率分析。
• 在唯一性证明中应用 Faà di Bruno 公式计算复合函数的高阶导数。
• 利用 Lebesgue 控制收敛定理，证明 $\gamma_k^{-n} \sum_{j=k+1}^\infty |q_{k,j} - \hat{q}_{k,j}| G_{j,n}(t) \to 0$，从而证明生成函数解 $Q_k(t)$ 的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在首代无灭绝的随机环境中超临界分支过程下，当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ 的精确渐近衰减速率是什么，其中 $j \geq k$ 且 $\mathbb{P}(Z_1 = 0) = 0$？
• RQ2 极限分布的生成函数 $Q(t)$ 如何满足函数方程？其收敛半径是多少？
• RQ3 使得 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 成立的临界值 $a > 0$ 是什么，其中 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$？
• RQ4 能否在弱于有界性的矩条件下（如 $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$ 对某个 $p > a$）建立调和矩的存在性？
• RQ5 渐近概率递推关系的解是否唯一？如何通过生成函数与收敛定理证明这一点？

主要发现

• 转移概率满足 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = 1) \sim \gamma^n q_j$，当 $n \to \infty$ 时，其中 $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1) > 0$，且 $q_j \in (0, \infty)$ 由递推系统唯一确定。
• 生成函数 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$ 的收敛半径为 1，并在 $t \in [0,1)$ 上满足函数方程 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$。
• 在矩条件 $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$ 对某个 $p > a$ 成立的前提下，调和矩 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ 存在性的临界值由 $\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$ 给出，该条件弱于有界性。
• 对于 $Z_0 = k$ 的递推关系，解 $Q_k(t)$ 在 $[0,1)$ 上唯一，其证明基于对生成函数差值的控制与收敛性论证。
• 通过递归函数不等式分析拉普拉斯变换 $\phi(t) = \mathbb{E}[e^{-tW}]$ 在 $t \to \infty$ 时的衰减速率，从而推导出临界矩阈值。
• 唯一性证明依赖于 Faà di Bruno 公式计算复合函数的导数，以及 Lebesgue 控制收敛定理对涉及生成函数的级数极限进行控制。