[论文解读] Asymptotic Optimal Strategy for Portfolio Optimization in a Slowly Varying Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为在缓慢变化的随机环境中进行投资组合优化，提出了一种严格的渐近逼近方法，其中资产收益和波动率依赖于一个缓慢移动的因子。在较弱的正则性条件下，证明了此前通过启发式方法得出的零阶次优策略在渐近意义上是最优的，且收敛速度取决于扰动的尺度。

ABSTRACT

In this paper, we study the portfolio optimization problem with general utility functions and when the return and volatility of underlying asset are slowly varying. An asymptotic optimal strategy is provided within a specific class of admissible controls under this problem setup. Specifically, we first establish a rigorous first order approximation of the value function associated to a fixed zeroth order suboptimal trading strategy, which is given by the heuristic argument in [J.-P. Fouque, R. Sircar and T. Zariphopoulou, {\it Mathematical Finance}, 2016]. Then, we show that this zeroth order suboptimal strategy is asymptotically optimal in a specific family of admissible trading strategies. Finally, we show that our assumptions are satisfied by a particular fully solvable model.

研究动机与目标

• 建立在缓慢变化的随机环境中进行投资组合优化的值函数的严格一阶逼近。
• 证明此前通过启发式方法得出的零阶次优策略，在特定允许控制类中渐近最优。
• 通过展示假设在完全可解模型中成立，验证渐近框架的有效性。
• 分析在不同缓慢因子尺度下的逼近收敛速度。

提出的方法

• 使用常规摄动理论，将值函数展开为 $ V^\delta = v^{(0)} + \sqrt{\delta}v^{(1)} + \delta v^{(2)} + \cdots $，其中 $ \delta $ 衡量因子的缓慢程度。
• 在缓慢因子动态下，通过渐近方程 (2.16) 和 (2.18) 推导出主导阶值函数 $ v^{(0)} $ 和一阶校正项 $ v^{(1)} $。
• 基于主导阶值函数，定义零阶次优策略 $ \pi^{(0)} = -\frac{\lambda(z)}{\sigma(z)} \frac{v^{(0)}_x}{v^{(0)}_{xx}} $。
• 通过证明在关键矩有界性假设下，该策略下的期望效用以 $ O(\delta^{\alpha}) $ 速率收敛到真实最优值，从而建立渐近最优性，其中 $ \alpha > 0 $。
• 引入一族摄动策略 $ \pi = \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $，并推导出保证涉及 $ v^{(0)} $、$ v^{(1)} $ 及其导数的矩项一致有界的充分条件（假设 C.1）。
• 将该框架应用于一个完全可解的模型，验证了假设的成立，从而确认了渐近逼近的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fouque 等人（2016）中导出的启发式零阶策略，能否在缓慢变化的随机环境中被严格证明为渐近最优？
• RQ2 为确保零阶策略的渐近最优性，对系数和矩项的必要条件是什么？
• RQ3 逼近的收敛速度如何依赖于尺度参数 $ \delta $ 和摄动阶数 $ \alpha $？
• RQ4 零阶策略在何种允许策略类中渐近最优？
• RQ5 该渐近框架是否适用于具有显式解的完全可解模型？

主要发现

• 在策略类 $ \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $ 中，零阶次优策略 $ \pi^{(0)} $ 渐近最优，收敛速率为 $ O(\delta^\alpha) $，其中 $ \alpha > 1/4 $。
• 当 $ 0 < \alpha < 1/4 $ 时，渐近最优性在涉及 $ \widetilde{v}^{2\alpha} $（值函数展开中 $ \delta^{2\alpha} $ 项的系数）的修正矩界下成立。
• 在临界情形 $ \alpha = 1/4 $ 时，收敛速率为 $ O(\delta^{1/4}) $，且一阶校正项 $ \widetilde{v}^{(1)} $ 满足一个线性 PDE（方程 4.10）。
• 假设 C.1 中的假设确保了关键矩项的一致有界性，这对证明策略的渐近最优性至关重要。
• 该框架在完全可解模型中得到验证，其中条件成立，确认了理论收敛速率。
• 基于 $ v^{(0)} $ 和 $ v^{(1)} $ 构建的值函数逼近 $ \widetilde{V}^\delta $，在所述有界性条件下达到 $ O(\delta^{1/2}) $ 的精度。