[论文解读] Asymptotic pairs, stable sets and chaos in positive entropy systems

Wen Huang, Leiye Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文证明，在可数、离散、无限、左序可换的阿贝尔群 $G$ 的正拓扑熵 $G$-系统中，渐近对的存在性与混沌行为与稳定集密切相关。通过局部分析与不变测度，证明了对 $\mu$-几乎处处的 $x$，其 $S$-稳定集 $W_S(x,G)$ 包含一个由可数个康托集构成的不可数 $(S^{-1},\delta)$-李-约尔克集，从而通过稳定集将正熵与丰富的混沌结构联系起来。

ABSTRACT

We consider positive entropy $G$-systems for certain countable, discrete, infinite left-orderable amenable groups $G$. By undertaking local analysis, the existence of asymptotic pairs and chaotic sets will be studied in connecting with the stable sets. Examples are given for the case of integer lattice groups, the Heisenberg group, and the groups of integral unipotent upper triangular matrices.

研究动机与目标

• 研究可数、离散、无限、左序可换的阿贝尔群 $G$ 的 $G$-系统中，正拓扑熵、渐近对与混沌集之间的相互作用。
• 确定在何种条件下，正熵意味着存在非对角渐近对与混沌行为。
• 利用代数过去与稳定集分析，将已知的 $\mathbb{Z}$-系统结果推广至更广泛的阿贝尔群类。
• 刻画正熵系统中稳定集的结构，证明其包含不可数的混沌子集。

提出的方法

• 使用 Følner 序列定义渐近对与稳定集 $W_S(x,G)$，其中 $S\subset G$ 为半群，相对于代数过去 $\Phi$。
• 应用遍历理论与鞅收敛定理，分析沿序列 $g_n \nearrow \infty$ 关于 $\Phi$ 的乘积测度 $\lambda_n = \mu \times_{\mathcal{F}_n} \mu$ 的弱极限。
• 通过在 $G$-不变子 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$ 上对不变测度 $\mu = \int \mu_x d\mu(x)$ 进行分解，研究稳定集的逐点性质。
• 应用鞅定理证明 $\lambda_n \to \lambda = \mu \times_{P_\mu(G)} \mu$，从而建立测度的弱收敛。
• 利用 $\lambda$ 的不变性与遍历性，证明 $\lambda(U_{i,g}) = \lambda(V_{i,g}) = 1$，表明其在关键集合上具有全测度支集。
• 结合测度论结果与拓扑论证，证明对 $\mu_x$- a.e. $x$，其在 $W_S(x,G)$ 中存在一个完美、不可数且 $G_\delta$-稠密的子集，该子集为 $(S^{-1},\delta)$-混沌。

实验结果

研究问题

• RQ1 在左序可换阿贝尔群 $G$ 的 $G$-系统中，正拓扑熵是否意味着存在某个半群 $S$ 的非对角 $S$-渐近对？
• RQ2 在正熵系统的稳定集中，是否能保证混沌行为，特别是 $(S,\delta)$-李-约尔克对的存在？
• RQ3 当 $h_{\text{top}}(G,X) > 0$ 时，稳定集 $W_S(x,G)$ 的拓扑与测度论结构如何？
• RQ4 群 $G$ 的代数过去 $\Phi$ 如何影响渐近对与混沌集的存在性？

主要发现

• 对 $\mu$-几乎处处的 $x \in X$，其 $S$-稳定集 $W_S(x,G)$ 包含一个由可数个康托集构成的 $(S^{-1},\delta)$-李-约尔克集。
• 条件测度 $\mu_x$ 的支集为完美集，且对 $\mu$- a.e. $x$，其包含于 $W_S(x,G)$ 中，表明稳定集中存在不可数混沌。
• $\lambda = \mu \times_{P_\mu(G)} \mu$ 是 $G$-不变且遍历的，且满足 $\lambda(\Delta_X) = 0$，因此对 $\mu$- a.e. $x$，有 $\mu_x$ 为非原子测度。
• 对 $\mu$- a.e. $x$，有 $W \cap \text{supp}(\mu_x) \times \text{supp}(\mu_x)$ 是 $\text{supp}(\mu_x) \times \text{supp}(\mu_x)$ 中的稠密 $G_\delta$ 子集，表明其具有丰富的拓扑结构。
• 对 $\mu$- a.e. $x$，稳定集 $W_S(x,G)$ 包含一个不可数的 $(S^{-1},\delta)$-混沌子集，从而将正熵与混沌动力学联系起来。
• 该结果将已知的 $\mathbb{Z}$-系统结果推广至更广泛的阿贝尔群类，包括 $\mathbb{Z}^d$、海森堡群以及幂零上三角矩阵群。