[论文解读] Asymptotic Preserving and Low Mach Number Accurate IMEX Finite Volume Schemes for the Euler Equations

K. R. Arun, Saurav Samantaray|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本论文提出了一类针对可压缩欧拉方程的二阶渐近保持（asymptotic preserving）且低马赫数准确的IMEX有限体积格式。通过将刚性（压力）和非刚性（速度）通量分离，并分别以隐式和显式方式处理时间项，同时在空间上采用中心格式与差分，该格式在所有马赫数范围内保持精度，并在马赫数趋近于零的极限下实现渐近精度。

ABSTRACT

In this paper, the design and analysis of a class of second order accurate IMEX finite volume schemes for the compressible Euler equations in the zero Mach number limit is presented. In order to account for the fast and slow waves, the nonlinear fluxes in the Euler equations are split into stiff and non-stiff components, respectively. The time discretisation is performed by an IMEX Runge-Kutta method, therein the stiff terms are treated implicitly and the non-stiff terms explicitly. In the space discretisation, a Rusanov-type central flux is used for the non-stiff part, and simple central differencing for the stiff part. Both the time semi-discrete and space-time fully-discrete schemes are shown to be asymptotic preserving. The numerical experiments confirm that the schemes achieve uniform second order convergence with respect to the Mach number. A notion of accuracy at low Mach numbers, termed as the asymptotic accuracy, is introduced in terms of the invariance of a well-prepared space of constant densities and divergence-free velocities. The asymptotic accuracy is concerned with the closeness of the compressible solution with that of its incompressible counterpart in a low Mach number regime. It is shown theoretically as well as numerically that the proposed schemes are asymptotically accurate.

研究动机与目标

• 开发在马赫数趋近于零时仍保持精度与稳定性的数值格式，此时流场趋于不可压缩。
• 解决在低马赫数下欧拉方程中由高声波引起的刚性问题。
• 通过保持密度恒定且速度场无散的初始条件，确保格式能保持不可压缩极限。
• 在所有马赫数范围内（包括渐近区域）实现均匀的二阶收敛性。
• 提出并验证一种新的“渐近精度”概念，用于衡量在低马赫数区域下解与不可压缩解的接近程度。

提出的方法

• 将欧拉方程分解为刚性（与压力相关）和非刚性（与速度相关）部分，以分离快波与慢波。
• 采用IMEX Runge-Kutta时间半隐式格式，对刚性项进行隐式处理，对非刚性项进行显式处理，以应对刚性并保持稳定性。
• 对非刚性通量采用Rusanov型中心通量，以确保双曲部分的鲁棒性与一致性。
• 在空间上对刚性通量采用简单的中心差分，确保二阶精度并保持与渐近极限的一致性。
• 证明了时间半离散与全离散格式具有渐近保持性，即当马赫数趋近于零时，格式收敛至不可压缩极限。
• 该格式被设计为保持常密度与无散速度的“良好准备”流形，从而确保渐近精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶精度的有限体积格式是否能在马赫数趋近于零时保持稳定与精度？
• RQ2 如何通过IMEX时间积分有效处理低马赫数流动中由声波引起的刚性？
• RQ3 在渐近区域下，何种条件可确保可压缩解始终接近不可压缩解？
• RQ4 能否为有限体积格式正式定义并数值验证“渐近精度”这一概念？
• RQ5 所提出的格式是否在所有马赫数范围内（包括极低值）均实现均匀的二阶收敛？

主要发现

• 所提出的IMEX有限体积格式具有渐近保持性，即当马赫数趋近于零时，其收敛至不可压缩欧拉方程。
• 该格式在所有马赫数范围内（包括低马赫数区域）均实现空间与时间上的均匀二阶收敛性。
• “渐近精度”概念被成功定义并得到验证，确保解在低马赫数极限下与不可压缩解保持接近。
• 数值实验表明，该格式能有效保持常密度与无散速度的“良好准备”流形，这对渐近精度至关重要。
• 通量分裂、IMEX时间积分与中心空间离散的结合，确保了在可压缩与不可压缩流态下的鲁棒性与精度。
• 理论分析与数值结果共同表明，该格式在马赫数趋近于零时仍能保持二阶精度。