[论文解读] Asymptotic properties of estimators in a stable Cox-Ingersoll-Ross model

Zenghu Li, Chunhua Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文建立了由非负 α 稳定 Lévy 过程（1 < α ≤ 2）驱动的稳定 Cox-Ingersoll-Ross（SCIR）模型中漂移参数的条件最小二乘估计量（CLSEs）和加权条件最小二乘估计量（WCLSEs）的渐近性质。基于低频离散观测，证明了估计量的一致性和渐近正态性，同时在指数遍历性和强混合条件下，提出了基于高频数据的波动率系数的弱一致估计量。

ABSTRACT

We study the estimation of a stable Cox-Ingersoll-Ross model, which is a special subcritical continuous-state branching process with immigration. The process is characterized in terms of some stochastic equations. The exponential ergodicity and strong mixing property of the process and the heavy tail behavior of some related random sequences are studied. We also establish the convergence of some point processes and partial sums associated with the model. From those results, we derive the consistency and central limit theorems of the conditional least squares estimators and the weighted conditional least squares estimators of the drift parameters based on low frequency observations. A weakly consistent estimator is also proposed for the volatility coefficient based on high frequency observations.

研究动机与目标

• 开发具有重尾 Lévy 噪声的稳定 Cox-Ingersoll-Ross 模型中漂移参数的统计推断方法。
• 将经典的估计技术（CLSEs、WCLSEs）从基于扩散的 CIR 模型推广至更一般的稳定 Lévy 驱动的 SCIR 模型。
• 建立基于低频离散观测的估计量的一致性和中心极限定理。
• 提出一种基于高频采样的波动率系数的弱一致估计量。
• 分析 SCIR 过程的随机性质，包括指数遍历性、强混合性以及相关序列的重尾行为。

提出的方法

• 将 SCIR 模型表述为由指数满足 1 < α ≤ 2 的非负 α 稳定 Lévy 过程驱动的随机微分方程，推广经典 CIR 模型。
• 通过 Itô 公式推导出离散时间自回归表示 $X_k = \rho + \gamma X_{k-1} + \varepsilon_k$，从而实现基于条件最小二乘的估计。
• 通过最小化平方残差和 $\sum_{k=1}^n (X_k - \gamma X_{k-1} - \rho)^2$ 及其加权变体，分别定义 CLSEs 和 WCLSEs。
• 通过建立与 SCIR 过程相关的点过程和部分和的收敛性，推导渐近分布结果。
• 利用矩不等式和自归一化极限定理控制随机积分和估计误差的行为。
• 应用控制收敛定理和矩估计，证明估计框架中关键误差项的概率收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定 CIR 模型中，条件最小二乘估计量（CLSEs）对漂移参数 $b$ 和 $a$ 的渐近性质是什么？
• RQ2 加权条件最小二乘估计量（WCLSEs）在极限分布和效率方面相较于 CLSEs 有何改进？
• RQ3 当使用高频观测时，波动率系数 $\sigma$ 的估计误差的极限行为如何？
• RQ4 SCIR 过程的指数遍历性和强混合性质如何支持估计量的渐近理论？
• RQ5 α 稳定 Lévy 噪声的重尾特性在估计量的收敛性和分布性质中起到什么作用？

主要发现

• 在低频采样下，漂移参数 $(b, a)$ 的 CLSEs 具有一致性和渐近正态性，收敛速度为 $n^{-1/2}$。
• $(b, a)$ 的 WCLSEs 同样实现渐近正态性，其极限分布为高斯分布，且在次临界条件下成立。
• 基于高频观测，提出了一种波动率系数 $\sigma$ 的弱一致估计量，且当 $n \to \infty$ 时，其依概率收敛。
• 该过程表现出指数遍历性和强混合性，这对建立估计量的渐近理论至关重要。
• 与 SCIR 模型相关的部分和与点过程收敛于分布，从而支持中心极限定理的推导。
• 估计框架中的误差项以概率收敛于零，其界通过矩不等式和自归一化极限定理导出。