[论文解读] Asymptotic Properties of Extremal Polynomials Corresponding to Measures Supported on Analytic Regions

Brian Simanek|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文建立了关于在解析区域及有限个外部点上支持的测度所关联的首一极小化多项式在 $L^q$-范数下的精确渐近估计。通过共形映射与乘积测度扰动，该文推广了Szegő型定理，提供了强渐近估计与Christoffel函数估计，解决了关于单位圆周上正交多项式比值渐近收敛一致性的猜想，该猜想在特定权函数分解条件下成立。

ABSTRACT

Let G be a bounded region with simply connected closure and having analytic boundary and let mu be a positive measure carried by the closure of G together with finitely many pure points outside G. We provide estimates on the norms of the monic polynomials of minimal norm in the space L^q(mu) for q>0. In case the norms converge to 0, we provide estimates on the rate of convergence, generalizing several previous results. Our most powerful result concerns measures mu that are perturbations of measures that are absolutely continuous with respect to the push-forward of a product measure near the boundary of the unit disk. Our results and methods also yield information about the strong asymptotics of the extremal polynomials and some information concerning Christoffel functions.

研究动机与目标

• 推广具有解析边界之解析区域上 $L^q$-极小化多项式的Szegő型定理。
• 分析当测度在单位圆盘边界附近为绝对连续测度的扰动时，首一多项式范数的渐近行为。
• 解决关于比值 $p_{n+1}(z)/z p_n(z)$ 在单位圆盘闭包外部紧子集上关于特定权函数的均匀收敛性猜想。
• 在具有有限个外部点质量的解析区域测度下，推导极小化多项式的强渐近估计与Christoffel函数估计。

提出的方法

• 利用从单位圆盘外部到 $\overline{G}$ 补集的共形映射 $\psi$ 及其逆 $\phi$，将测度转移并分析渐近行为。
• 通过 $\psi$ 下的乘积测度的前推，建模平衡测度的扰动，从而分析 $L^q$-范数衰减速率。
• 采用通过核函数 $K_n(z,w;\mu)$ 及其归一化版本的强渐近框架，研究 $\lambda_n(z;\mu,q)$（即Christoffel函数的逆）的极限。
• 利用Montel定理与正规族，提取核函数的收敛子列，证明其一致有界性并收敛至解析极限。
• 通过 $\phi_*$ 的测度变换，将 $G$ 上的问题约化为单位圆周上的问题，利用正交多项式在 $\partial\mathbb{D}$ 上的已知结果。
• 利用对称性与 $L^1$-范数的导数分析，证明在对称集合上对称测度的 $L^1$-极小化多项式不唯一。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有解析边界之解析区域上，首一极小化多项式的 $L^q$-范数在何种条件下收敛于零，收敛速率如何？
• RQ2 当测度在单位圆盘边界附近为绝对连续测度的扰动时，极小化多项式的强渐近行为如何变化？
• RQ3 当权函数可分解为 $h(r e^{i\theta}) f(\theta) g(r)$，且 $h$ 在 $\overline{\mathbb{D}}$ 上连续且不为零时，比值渐近 $p_{n+1}(z;\mu,2)/(z p_n(z;\mu,2))$ 是否在 $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ 的紧子集上一致收敛于 1？
• RQ4 当测度 $\mu$ 支持于一个圆盘且包含径向分量时，Christoffel函数 $\lambda_n(z;\mu,q)$ 在原点的行为如何？
• RQ5 极小化多项式的渐近行为能否在不同 $q \in (0,\infty)$ 下统一刻画，特别是当 $q=1$ 时？

主要发现

• 本文证明：对于在单连通解析区域 $G$（容量为1）上支持且包含有限个外部点质量的测度 $\mu$，首一极小化多项式的 $L^q$-范数收敛于零的速率由单位圆周上测度的前推测度的对数导数决定。
• 通过证明归一化核 $Q_{n,z}(w)$ 构成正规族，从而在圆盘的紧子集上收敛至解析极限函数，本文建立了极小化多项式的强渐近估计。
• 证实了Saff（1986）中的猜想：若单位圆盘上的权函数可分解为 $w(re^{i\theta}) = h(re^{i\theta}) f(\theta) g(r)$，且 $h$ 在 $\overline{\mathbb{D}}$ 上连续且不为零，则在 $\overline{\mathbb{C}}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ 的紧子集上，$\lim_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}(z;\mu,2)}{z p_n(z;\mu,2)} = 1$ 一致成立。
• 对于在 $\overline{\mathbb{D}}$ 上的测度 $\mu$，其径向分量为 $\tau$，圆周分量为 $\nu$，当 $\tau$ 在原点有质量且 $\nu \neq \frac{d\theta}{2\pi}$ 时，有 $\lambda_\infty(0;\mu,2) > \lambda_\infty(0;\nu,2)$，表明径向质量导致严格增加。
• 本文给出了文献[29]中定理2.5.4关于原点处Christoffel函数极限的新证明，表明 $\lambda_\infty(0;\mu,q)$ 依赖于 $\mu$ 的径向与圆周分量。
• 对于在对称集合上对称支持的测度，$L^1$-极小化多项式不唯一：当 $n$ 为奇数时，若 $\mu$ 对称且支持于 $[-2,-1] \cup [1,2]$，则 $P_n(\mu,1)$ 不唯一。