[论文解读] Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth rate for a jump-type CIR process based on continuous time observations

Mátyás Barczy, Mohamed Ben Alaya+2 more|SZTE Publicatio Repozitórium (University of Szeged)|Sep 19, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 9

一句话总结

本文基于连续时间观测，建立了跳型Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程中增长速率参数 $ b $ 的最大似然估计量（MLE）的渐近性质。在次临界情形（$ b > 0 $）下，推导出弱一致性与渐近正态性；在超临界情形（$ b < 0 $）下，得到强一致性与混合正态渐近行为，并提出超临界状态下极限分布的新型随机表示；在临界情形（$ b = 0 $）下，表现出非标准渐近行为。

ABSTRACT

We consider a jump-type Cox--Ingersoll--Ross (CIR) process driven by a standard Wiener process and a subordinator, and we study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for its growth rate. We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical. In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality, and, under an additional moment assumption, strong consistency as well. In the supercritical case, we prove strong consistency and mixed normal (but non-normal) asymptotic behavior, while in the critical case, weak consistency and non-standard asymptotic behavior are described. We specialize our results to so-called basic affine jump-diffusions as well. Concerning the asymptotic behavior of the MLE in the supercritical case, we derive a stochastic representation of the limiting mixed normal distribution, where the almost sure limit of an appropriately scaled jump-type supercritical CIR process comes into play. This is a new phenomenon, compared to the critical case, where a diffusion-type critical CIR process plays a role.

研究动机与目标

• 研究跳型CIR过程中增长速率参数 $ b $ 的最大似然估计量（MLE）在连续时间观测下的渐近行为。
• 通过子过程（subordinator）引入跳跃动态，扩展现有MLE渐近结果，从而推广经典扩散型CIR过程。
• 分析三种不同情形——次临界（$ b > 0 $）、临界（$ b = 0 $）与超临界（$ b < 0 $）——并刻画MLE在每种情形下的极限分布。
• 在超临界情形下，提供极限混合正态分布的随机表示，涉及经适当缩放的跳型CIR过程的几乎必然极限。
• 将结果特化至基本仿射跳跃扩散过程（BAJDs），该类过程在金融建模中广泛应用。

提出的方法

• 将跳型CIR过程建模为由维纳过程与子过程驱动的随机微分方程（SDE），其中参数 $ a $、$ \sigma $ 与Lévy测度 $ m $ 已知，而 $ b $ 未知。
• 利用Girsanov定理与局部鞅技术，从似然比推导出 $ b $ 的MLE，其中似然函数仅依赖于漂移与扩散项。
• 渐近分析依赖于连续局部鞅的极限定理，特别是多变量连续局部鞅的强大数律与分布收敛性。
• 在超临界情形下，提出一种新型的极限混合正态分布的随机表示，其极限形式涉及经适当缩放的跳型CIR过程的几乎必然极限。
• 根据 $ b $ 的符号区分三种情形：次临界（$ b > 0 $）、临界（$ b = 0 $）与超临界（$ b < 0 $），每种情形需采用不同的渐近分析工具。
• 通过伊藤微积分的严格应用验证理论结果，包括二次变差、本地时与Laplace变换，给出MLE及其极限行为的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间采样下，跳型CIR过程中增长速率 $ b $ 的MLE具有何种渐近性质？
• RQ2 引入子过程（跳跃成分）后，MLE的极限分布与经典扩散型CIR过程相比有何变化？
• RQ3 在超临界情形（$ b < 0 $）下，极限分布的本质特征是什么？能否以该过程本身的形式进行随机表示？
• RQ4 临界情形（$ b = 0 $）在渐近行为上与次临界及超临界情形有何不同？
• RQ5 结果能否特化至基本仿射跳跃扩散过程（BAJDs）？对金融建模有何启示？

主要发现

• 在次临界情形（$ b > 0 $）下，$ b $ 的MLE是弱一致的，且渐近正态；在附加矩条件成立时，亦为强一致。
• 在超临界情形（$ b < 0 $）下，MLE是强一致的，并依分布收敛于混合正态分布，其极限分布具有新颖的随机表示，涉及经缩放的跳型CIR过程的几乎必然极限。
• 在临界情形（$ b = 0 $）下，MLE是弱一致的，但表现出非标准渐近行为，既不同于正态分布也不同于混合正态分布。
• 超临界情形下极限混合正态分布的特征在于其随机方差分量，该分量源于跳型CIR过程的长期行为。
• 本研究扩展了Mai（2016）的前期工作，修正了似然比与MLE的表达式，并消除了对遍历性假设的依赖。
• 对 $ b $ 的MLE无需知晓 $ \sigma $ 或Lévy测度 $ m $，从而在实际估计中更具简洁性。