[论文解读] Asymptotic properties of some space-time fractional stochastic equations

Mohammud Foondun, Erkan Nane|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|May 18, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文利用分数阶杜哈梅尔原理与马利avin微积分，研究了一类由时空白噪声驱动的时空分数阶随机热方程解的渐近行为。研究建立了矩界、时间上的赫尔德连续性以及噪声激发性，拓展了先前关于由柯普托导数与稳定生成元控制的亚扩散动力学的时间分数阶SPDE的研究结果。

ABSTRACT

Consider non-linear time-fractional stochastic heat type equations of the following type, $$\partial^β_tu_t(x)=-ν(-Δ)^{α/2} u_t(x)+I^{1-β}_t[λσ(u)\stackrel{\cdot}{F}(t,x)]$$ in $(d+1)$ dimensions, where $ν>0, β\in (0,1)$, $α\in (0,2]$. The operator $\partial^β_t$ is the Caputo fractional derivative while $-(-Δ)^{α/2} $ is the generator of an isotropic stable process and $I^{1-β}_t$ is the fractional integral operator. The forcing noise denoted by $\stackrel{\cdot}{F}(t,x)$ is a Gaussian noise. And the multiplicative non-linearity $σ$ is assumed to be globally Lipschitz continuous. Under suitable conditions on the initial function, we study the asymptotic behaviour of the solution with respect to time and the parameter $λ$. In particular, our results are significant extensions of existing results. Along the way, we prove a number of interesting properties about the deterministic counterpart of the equation.

研究动机与目标

• 研究一类非线性时间分数阶随机热方程在时空白噪声驱动下解的长时间渐近行为。
• 通过引入时空分数阶动力学与乘性噪声，拓展现有时间分数阶SPDE的研究结果。
• 建立解过程在时间上的矩界与赫尔德连续性性质。
• 分析噪声强度参数λ对解增长与稳定性的影响。
• 通过分数阶杜哈梅尔原理与随机积分的温和形式，证明解的存在性。

提出的方法

• 使用柯普托分数阶导数∂^β_t与各向同性α稳定过程的生成元−(−Δ)^α/2来表述随机PDE。
• 应用分数阶杜哈梅尔原理，将方程转化为包含时间分数阶热核G_t的温和积分形式。
• 利用沃尔什随机积分理论，将解定义为与时空白噪声的随机卷积。
• 采用马利avin微积分与伯克霍尔德不等式，估计增量的矩并建立赫尔德连续性。
• 推导热核的下界，并利用环形区域上的几何论证估计混沌展开中的乘积积分。
• 应用科尔莫戈罗夫连续性定理，在适当的矩界下证明解在时间上的样本路径赫尔德连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由柯普托导数β ∈ (0,1) 引入的亚扩散行为如何影响解的长时间动力学？
• RQ2 噪声强度参数λ对解的增长与正则性有何影响？
• RQ3 在何种条件下解过程在时间上具有赫尔德连续性，其最优赫尔德指数为何？
• RQ4 α稳定生成元的空间性质与噪声结构如何影响解的矩行为？
• RQ5 解在多大程度上表现出噪声激发性？与经典随机热方程相比有何差异？

主要发现

• 解的矩界随时间呈多项式增长，增长速率取决于β、α与空间维数d。
• 解在时间上具有赫尔德连续性，其指数满足γ < (1 − βγ/α)/2，其中γ与初始数据的正则性相关。
• 建立了噪声激发性：当λ增大时，解的二阶矩随时间呈指数增长，表明对噪声有强烈响应。
• 推导出在k个时间区间上热核乘积的下界，导致混沌展开中大t时级数发散。
• 赫尔德连续性证明依赖于利用傅里叶分析与稳定过程特征函数的衰减性质，估计时间增量的L^p范数。
• 本研究通过同时引入时间与空间分数阶动力学，并证明新的正则性与增长性质，拓展了先前关于时间分数阶SPDE的工作。