[论文解读] Asymptotic properties of the maximum likelihood estimator for multivariate extreme value distributions

Clément Dombry, Sebastian Engelke+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 7被引用 9

一句话总结

该论文在指数函数和角度测度的一般正则性条件下，建立了参数化多变量极值分布的最大似然估计量（MLE）的渐近正态性与效率。研究证明，对于Hüsler–Reiss、Schlather和Brown–Resnick过程等流行模型，当空间位置之间的成对距离非均匀时，MLE具有渐近正态性，从而在多变量和空间极值统计中实现了有效的频率学推断。

ABSTRACT

Max-stable distributions and processes are important models for extreme events and the assessment of tail risks. The full, multivariate likelihood of a parametric max-stable distribution is complicated and only recent advances enable its use. The asymptotic properties of the maximum likelihood estimator in multivariate extremes are mostly unknown. In this paper we provide natural conditions on the exponent function and the angular measure of the max-stable distribution that ensure asymptotic normality of the estimator. We show the effectiveness of this result by applying it to popular parametric models in multivariate extreme value statistics and to the most commonly used families of spatial max-stable processes.

研究动机与目标

• 建立参数化多变量极值分布的最大似然估计量（MLE）的渐近正态性，这是多变量极值统计理论中长期存在的理论空白。
• 确定使模型在二次均值下可微以及MLE渐近正态的指数函数和角度测度的最小正则性条件。
• 验证理论结果在空间极值中广泛应用的模型上的适用性，包括Hüsler–Reiss、Schlather和Brown–Resnick过程。
• 为基于完整似然函数的多变量极值分析中频率学推断提供严格基础，克服复合似然方法的局限性。

提出的方法

• 利用Faà di Bruno公式推导极稳分布的完整似然，将密度表达为索引集所有划分的和。
• 通过验证指数函数和角度测度的条件（A1）–A3）和B1）–B3）），建立模型在二次均值下的可微性。
• 应用非正则模型中MLE的一般渐近理论，表明模型的得分函数满足所需的正则性条件。
• 利用反函数定理验证参数族（如Schlather和Brown–Resnick过程）满足渐近正态性所需的光滑性条件。
• 将理论应用于特定参数族，包括Hüsler–Reiss模型和具有分数阶变差函数的Brown–Resnick过程。
• 证明在较弱的几何条件下（如观测位置之间成对距离非均匀），渐近正态性依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多变量极值分布的最大似然估计量具有渐近正态性？
• RQ2 在高维设置下，能否使用参数化极稳分布的完整似然进行有效的频率学推断？
• RQ3 Hüsler–Reiss和Brown–Resnick等流行的空间极值模型是否满足MLE渐近正态性所需的正则性条件？
• RQ4 观测位置的几何结构（如成对距离）如何影响空间极值中MLE的渐近性质？
• RQ5 在所推导的正则性条件下，参数化极稳模型的MLE是否具有效率？

主要发现

• 在指数函数和角度测度的温和正则性条件下，多变量极值分布的最大似然估计量具有渐近正态性。
• Hüsler–Reiss模型在二次均值下可微，且对于任意严格条件负定的参数矩阵，其MLE具有渐近正态性和效率。
• 对于具有幂指数相关结构的Schlather过程，当观测位置之间成对距离非均匀时，参数(s, α)的MLE具有渐近正态性。
• 在观测位置不全等距的条件下，具有分数阶变差函数的Brown–Resnick过程满足MLE渐近正态性的条件。
• 研究结果验证了在空间极值中使用完整似然推断的可行性，为复合成对似然方法提供更高效的选择。
• 该理论框架适用于有限维和连续域的极稳过程，扩展了极值统计中频率学推断的适用范围。