[论文解读] Asymptotic results and statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at hitting times

Mathieu Rosenbaum, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了在对称屏障距离当前水平为ε的随机击中时间下观测的时变Lévy过程的渐近极限与统计推断程序。结果表明，当ε → 0时，重标度过程依分布收敛到一个α稳定过程，从而在附加假设下可实现对时变过程与Blumenthal-Getoor指数的一致估计，并获得收敛速率与中心极限定理。

ABSTRACT

We provide asymptotic results and develop high frequency statistical procedures for time-changed Lévy processes sampled at random instants. The sampling times are given by first hitting times of symmetric barriers whose distance with respect to the starting point is equal to $\varepsilon$. This setting can be seen as a first step towards a model for tick-by-tick financial data allowing for large jumps. For a wide class of Lévy processes, we introduce a renormalization depending on $\varepsilon$, under which the Lévy process converges in law to an $α$-stable process as $\varepsilon$ goes to $0$. The convergence is extended to moments of hitting times and overshoots. In particular, these results allow us to construct consistent estimators of the time change and of the Blumenthal-Getoor index of the underlying Lévy process. Convergence rates and a central limit theorem are established under additional assumptions.

研究动机与目标

• 开发在内生击中时间下观测的高频数据的统计程序，特别是针对具有跳变的模型。
• 建立当屏障距离ε → 0时，重标度时变Lévy过程依分布收敛到α稳定极限的弱收敛性。
• 在该采样方案下，推导时变过程与跳跃活动指数（Blumenthal-Getoor指数）的一致估计量。
• 在正则性条件下量化函数与估计量的收敛速率，并建立中心极限定理。
• 将渐近结果扩展至首达时间的矩与过冲泛函。

提出的方法

• 通过 $ X^{\varepsilon}_t = \varepsilon^{-1}X_{\varepsilon^{\alpha}t} $ 对过程进行重标度，以研究当ε → 0时向α稳定过程的收敛性。
• 使用C-紧性与Skorohod拓扑证明重标度过程及其相关泛函的弱收敛性。
• 通过首次击中时间 $ T^{\varepsilon}_i = \inf\{t > T^{\varepsilon}_{i-1} : |Y_t - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}}| \geq \varepsilon\} $ 定义观测方案。
• 构造形式为 $ V^{\varepsilon}(f)_t = \sum_{T^{\varepsilon}_i \leq t} f(\varepsilon^{-1}(Y_{T^{\varepsilon}_i} - Y_{T^{\varepsilon}_{i-1}})) $ 的估计量以实现统计推断。
• 应用Kolmogorov不等式与矩界，在 $ \mathbb{E}[\tau^{\varepsilon}_1] $ 与 $ \text{Var}(\tau^{\varepsilon}_1) $ 的假设下推导收敛速率。
• 使用Skorohod表示定理，建立时变过程在Skorohod拓扑下的几乎必然收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当采样屏障ε趋近于零时，重标度时变Lévy过程是否依分布收敛到一个α稳定过程？
• RQ2 首达时间的矩与过冲量是否收敛到极限α稳定过程的对应矩？
• RQ3 在此击中时间采样方案下，时变过程与Blumenthal-Getoor指数的一致估计量是否可行？
• RQ4 从重标度过程中导出的函数与估计量的收敛速率为何？
• RQ5 在附加正则性假设下，估计量是否满足中心极限定理？

主要发现

• 对于包括具有扩散或非零漂移的Lévy过程在内的广泛类，重标度过程 $ X^\varepsilon $ 在ε → 0时依分布收敛到一个α稳定Lévy过程。
• 首达时间的矩与过冲泛函的矩收敛到极限α稳定过程中的对应量，后者通常可显式表达。
• 泛函 $ V^{\varepsilon}(f)_t $ 满足大数定律，从而支持对Blumenthal-Getoor指数与时变特征的一致估计。
• 在额外矩条件成立下，估计量的收敛速率为 $ \varepsilon^{-(1-\delta-\beta) \vee -1/2} $，且过程在概率意义下一致收敛于零。
• 在正则性条件下，建立了估计量的多维中心极限定理，证实了其渐近正态性。
• 收敛性 $ \varepsilon^{-\alpha/2}(Z^{\varepsilon}_{\varepsilon^{\alpha}M^{\varepsilon}_t} - t) \to 0 $ 确保了紧性与重标度方案下的统一收敛性。