[论文解读] Asymptotic results for Representation Theory

Dario De Stavola|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 90被引用 5

一句话总结

本论文建立了有限群表示的渐近结果，重点研究对称群和上单位三角群上的Plancherel测度。通过Jucys-Murphy元系扩展了Kerov关于Plancherel特征的中心极限定理，证明了部分和的大数定律，并为超特征理论引入了超Plancherel测度，推导出集合划分的极限形状。主要贡献包括在多重矩形坐标下对投影特征多项式的多项式性与非负性猜想。

ABSTRACT

Representation theory of finite groups portrays a marvelous crossroad of group theory, algebraic combinatorics, and probability. In particular the Plancherel measure is a probability that arises naturally from representation theory, and in this thesis we consider three ramifications of asymptotic questions for random Plancherel distributed representations. First we recall irreducible characters of the symmetric group, which are indexed by integer partitions. We focus on the so called 'dual approach', in which the partition indexing a character is now considered to be the variable. We extend a famous result of Kerov on the asymptotic of Plancherel distributed characters by studying partial trace and partial sum of a representation matrix. We decompose each of these objects into a main term and a remainder, and in each case we prove a central limit theorem for the main term. We apply these results to prove a law of large numbers for the partial sum. In the second part we consider projective representations of the symmetric group by converting a multirectangular approach developed by Stanley for the classical case. In particular, we present a positivity conjecture for the coefficients of the renormalized projective character, written as a polynomial in a new set of coordinates. We prove the positivity for the leading term of the polynomial. In the last part of the thesis we recall the theory of supercharacters, which is an alternative tool to representation theory when the classical approach proves to be intractable. We show that a generalization of the Plancherel measure, called the superplancherel measure, arises naturally. We focus on a particular supercharacter theory for the upper unitriangular group in which supercharacters are indexed by set partitions. We prove a limit shape result for a random set partition according to this distribution.

研究动机与目标

• 通过部分迹和表示矩阵的和，将Kerov关于对称群上Plancherel分布特征的渐近结果进行扩展。
• 通过Jucys-Murphy元系与对称函数展开，研究不可约特征与杨图之间的对偶性。
• 将Plancherel测度推广至上单位三角群的超特征理论，并推导极限形状结果。
• 探索经典与投影表示理论之间的组合类比，特别是严格分拆在多重矩形坐标下的情形。
• 基于群行列式多项式的不可约性，提出整数超特征理论最小性的判别准则。

提出的方法

• 将表示矩阵的部分迹与部分和分解为主项与余项，对主项应用中心极限定理。
• 通过在Jucys-Murphy元系上展开对称函数，分析特征的渐近行为。
• 将Stanley关于经典杨图的多重矩形参数化方法，转化为严格分拆的平移杨图形式。
• 在由上单位三角群的超特征标索引的集合划分上定义超Plancherel测度。
• 将群行列式构造应用于超特征标，将Θχ(G)在ℤ上的不可约性与超特征理论的最小性联系起来。
• 分析在超Plancherel测度下集合划分上两个统计量的渐近行为，扩展了在均匀分布下的已有结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Plancherel测度下表示矩阵的部分迹与部分和的渐近行为如何？
• RQ2 能否在表示矩阵部分迹与部分和的分解主项上建立中心极限定理？
• RQ3 在超Plancherel测度下，Plancherel分布的严格分拆的极限形状是什么？是否可推广至一致拓扑？
• RQ4 在多重矩形坐标下，归一化的投影特征是否为多项式？其系数是否具有非负性？
• RQ5 Θχ(G)在ℤ上的不可约性能否作为整数超特征理论最小性的判别准则？

主要发现

• 在Plancherel测度下，表示矩阵部分迹与部分和分解的主项上，证明了中心极限定理。
• 从主项的渐近行为出发，建立了表示矩阵部分和的大数定律。
• 证明了在多重矩形坐标下表达的归一化投影特征为多项式，且其首项系数为正。
• 提出了一个猜想：该多项式的所有系数均为非负，将Stanley的结果推广至投影情形。
• 证明了在集合划分上超Plancherel测度的极限形状结果，将Ivanov的结果推广至一致拓扑。
• 描述了在超Plancherel测度下两个集合划分统计量的渐近行为，扩展了在均匀分布下的先前工作。