[论文解读] Asymptotic rigidity of Riemannian manifolds

Raz Kupferman, Cy Maor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 2

一句话总结

本文建立了黎曼流形的两个渐近刚性定理：第一，具有几乎处处保向等距微分的Lipschitz映射是等距嵌入，利用广义Piola恒等式；第二，若一列映射的微分在$L^p$范数下收敛于保向等距映射，则其子列收敛于一个等距嵌入。这些结果将Liouville和Reshetnyak的经典结果推广至黎曼几何设定，并应用于非欧几里得弹性理论与流形收敛性问题。

ABSTRACT

We prove two rigidity theorems for maps between Riemannian manifolds. First, we prove that a Lipschitz map $f:M o N$ between two oriented Riemannian manifolds, whose differential is almost everywhere an orientation-preserving isometry, is an isometric immersion. This theorem was previously proved using regularity theory for conformal maps; we give a new, simple proof, by generalizing the Piola identity for the cofactor operator. Second, we prove that if there exists a sequence of mapping $f_n:M o N$, whose differentials converge in $L^p$ to the set of orientation-preserving isometries, then there exists a subsequence converging to an isometric immersion. These results are generalizations of celebrated rigidity theorems by Liouville (1850) and Reshetnyak (1967) from Euclidean to Riemannian settings. Finally, we describe applications of these theorems to non-Euclidean elasticity and to convergence notions of manifolds.

研究动机与目标

• 将Liouville（1850年）与Reshetnyak（1967年）的经典刚性定理从欧几里得空间推广至黎曼流形。
• 为具有几乎处处等距微分的Lipschitz映射提供等距嵌入刚性定理的新证明，避免依赖共形映射的正则性理论。
• 刻画微分在$L^p$范数下收敛于保向等距映射的映射序列的渐近行为。
• 为非欧几里得弹性理论与黎曼流形收敛性研究提供理论基础。

提出的方法

• 将经典Piola恒等式推广至黎曼几何设定，以分析映射微分的余因子。
• 利用推广后的Piola恒等式，证明具有几乎处处保向等距微分的Lipschitz映射是等距嵌入。
• 分析一列映射微分在$L^p$范数下弱收敛于保向等距映射集合的性质。
• 通过紧致性论证，提取收敛于等距嵌入的子列。
• 建立$L^p$范数下微分收敛性与等距极限映射存在性之间的联系。
• 将框架扩展至非欧几里得几何设定，尤其适用于弹性理论与几何收敛性研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有几乎处处等距微分的黎曼流形间Lipschitz映射会成为等距嵌入？
• RQ2 是否可以不依赖共形映射正则性理论，建立等距嵌入的刚性？
• RQ3 微分在$L^p$范数下收敛于保向等距映射集合的映射序列的渐近行为如何？
• RQ4 这些刚性结果如何推广至非欧几里得几何，特别是弹性模型中？
• RQ5 这些定理对黎曼流形收敛性概念有何影响？

主要发现

• 黎曼流形间具有几乎处处保向等距微分的Lipschitz映射$f: M \to N$是等距嵌入。
• 证明通过在黎曼设定下引入广义Piola恒等式，避免了对共形正则性理论的依赖。
• 对于映射列$f_n: M \to N$，若其微分在$L^p$范数下收敛于保向等距映射集合，则存在子列收敛于等距嵌入。
• 结果将Liouville关于共形映射的定理与Reshetnyak的刚性定理推广至黎曼流形。
• 这些定理为分析非欧几里得弹性理论提供了理论基础，其中等距形变是核心概念。
• 该框架支持通过受控微分行为研究黎曼流形序列的收敛性。