[论文解读] Asymptotic solutions of the 1D nonlocal Fisher-KPP equation

А. В. Шаповалов, A. Yu. Trifonov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 3

一句话总结

本文提出了两种解析方法——基于WKB-Maslov理论的半经典渐近法与长时间扰动渐近法——用于近似求解一维非局部Fisher-KPP方程，该方程是微生物种群中模式形成现象的模型。半经典方法得到一族在有限时间区间内有效的可数个主导阶渐近解，而长时间方法则通过在拟稳态解上的小扰动，捕捉了多峰模式的形成。

ABSTRACT

Two analytical methods have been developed for constructing approximate solutions to a nonlocal generalization of the 1D Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. This equation is of special interest in studying the pattern formation in microbiological populations. In the greater part of the paper, we consider in detail a semiclassical approximation method based on the WKB-Maslov theory under the supposition of weak diffusion. The semiclassical asymptotics are sought in a class of trajectory concentrated functions. Such functions are localized in a neighborhood of a point moving in space. In terms of the semiclassical formalism developed, the original nonlinear equation is reduced to an associated linear partial differential equation and some algebraic equations for the coefficients of the linear equation with a given accuracy of the asymptotic parameter. The solutions of the nonlinear equation are constructed from the solutions of both the linear equation and the algebraic equations. A countable family of the leading terms of the semiclassical asymptotics is constructed in explicit form. The semiclassical asymptotics are valid by construction in a finite time interval which can be small in the sense that a pattern has no time to form in this interval. In the final part of the paper, we have constructed asymptotics which are different from the semiclassical ones and can describe the evolution of the solutions of the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation at large times. These asymptotics represent small perturbations on the background of an exact quasi-stationary solution. In the example considered, an initial unimodal distribution becomes multimodal, which can be treated as pattern formation.

研究动机与目标

• 为建模微生物种群中模式形成的非局部Fisher-KPP方程发展解析近似方法。
• 将基于WKB-Maslov理论的半经典渐近技术扩展至具有弱扩散的非局部非线性PDE。
• 构造在模式尚未完全形成的时间区间内有效的解。
• 通过推导描述从单峰初始条件中出现多峰模式的渐近行为，分析长时间行为。
• 在短时间和长时间两种情形下，提供主导阶渐近解的显式解析表达式。

提出的方法

• 采用WKB-Maslov半经典形式化方法，将非线性非局部Fisher-KPP方程约化为关联的线性PDE及系数的代数方程。
• 在轨迹集中函数类中寻求解，即在空间中移动点附近局域化的解，以模拟局域化种群动力学。
• 利用半经典框架，基于给定的小参数渐近精度，构造一族可数个主导阶渐近解。
• 对于长时间情形，通过从精确拟稳态解出发的小扰动，推导出扰动渐近解，以捕捉长期模式演化。
• 利用所得渐近展开分析从单峰到多峰种群分布的转变过程。
• 确保半经典渐近解在有限时间区间内有效，与该阶段尚未出现模式形成的现象一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将半经典渐近方法适配于求解具有弱扩散的非局部Fisher-KPP方程？
• RQ2 在半经典区域中，主导阶渐近解的结构是什么？它们如何由线性方程与代数方程构造而成？
• RQ3 半经典近似能否描述模式形成前的解演化过程？
• RQ4 解在长时间下如何演化？何种机制导致多峰分布的出现？
• RQ5 拟稳态解在非局部Fisher-KPP方程长时间渐近行为中起何种作用？

主要发现

• 以轨迹集中函数表示，显式构造出一族可数个主导阶半经典渐近解。
• 半经典渐近解在有限时间区间内有效，与该阶段未出现模式形成的现象一致。
• 该方法将原始非线性非局部PDE约化为线性PDE与系数的代数方程，从而实现系统的近似求解。
• 在长时间下，渐近解通过在拟稳态解上的小扰动，描述了多峰模式的出现。
• 从初始单峰分布到多峰分布的转变过程被解析地捕捉，表明在长时间范围内发生了模式形成。
• 渐近解提供了一个理解微生物种群中瞬态动力学与长期空间组织的框架。