[论文解读] Asymptotic Spectral Formula for Empirical Measures of Diffusion Processes on Riemannian Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文为紧致黎曼流形上扩散过程的经验测度与其不变测度之间的期望平方 Wasserstein 距离建立了渐近谱公式。结果表明，收敛速率取决于流形的维数：当 d ≤ 3 时，极限为有限值且满足中心极限定理；当 d ≥ 4 时，速率为 t⁻²/(d−2)，并给出了涉及生成元特征值的显式谱公式。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact connected Riemannian manifold possibly with a boundary, let $V\in C^2(M)$ such that $\mu(d x):=e^{V(x)}d x$ is a probability measure, and let $\{\lambda_i\}_{i\ge 1} $ be all non-trivial eigenvalues of $-L$ with Neumann boundary condition if the boundary exists. Then the empirical measures $\{\mu_t\}_{t>0}$ of the diffusion process generated by $L$ (with reflecting boundary if the boundary exists) satisfy $$ \lim_{t o \infty} \big\{t \mathbb E^x [W_2(\mu_{t},\mu)^2]\big\}= \sum_{i=1}^\infty\frac 2 {\lambda_i^2} ext{ uniformly } x\in M,$$ where $\mathbb E^x$ denotes the expectation for the diffusion process starting at point $x$, $W_2$ is the $L^2$-Warsserstein distance induced by the Riemannian metric. The limit is finite if and only if $d\le 3$, and in this case we derive the following central limit theorem: $$\lim_{t o\infty} \sup_{x\in M} \Big|\mathbb P^x(t W_2(\mu_{t},\mu)^2<a)- \mathbb P\Big( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2}<a\Big)\Big|=0, \ a\ge 0,$$ where $\mathbb P^x$ is the probability with respect to $\mathbb E^x$, and $\{\xi_k\}_{k\ge 1}$ are i.i.d. standard Gaussian random variables. Moreover, when $d\ge 4$ we prove that the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. Moreover, when $d\ge 4$ the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. The main result is extended to modified empirical measures of the diffusion process on a class of non-compact Riemannian manifolds with or without boundary.

研究动机与目标

• 推导紧致黎曼流形上扩散过程的经验测度与其不变测度之间期望平方 L²-Wasserstein 距离的渐近公式。
• 通过带 Neumann 边界条件的生成元 L 的谱特性，刻画经验测度向不变测度的收敛速率。
• 在低维情形（d ≤ 3）建立 Wasserstein 距离的中心极限定理，并在高维情形（d ≥ 4）识别主导阶行为。
• 将结果推广至带或不带边界的非紧致黎曼流形类。
• 通过扩散生成元的谱性质，对经验测度的长时间行为提供维数依赖的刻画。

提出的方法

• 利用紧致黎曼流形 M 上带 Neumann 边界条件的生成元 $-L$ 的谱分解，表达 Wasserstein 距离的渐近行为。
• 应用由黎曼度量诱导的 $L^2$-Wasserstein 距离 $W_2$，量化经验测度与不变测度之间的差异。
• 推导极限 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$ 对所有 $x \in M$ 一致成立，其中 $\lambda_i$ 为 $-L$ 的非平凡特征值。
• 通过证明 $t W_2(\mu_t, \mu)^2$ 的分布收敛于涉及独立同分布标准高斯变量 $\xi_k$ 的缩放 $\chi^2$ 分布之和，证明在维数 $d \leq 3$ 时的中心极限定理。
• 利用谱衰减与维数相关估计，识别 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] \sim c \cdot t^{-2/(d-2)}$ 在 $d \geq 4$ 时的主导阶渐近行为。
• 通过关于势函数与曲率的适当几何与分析假设，将结果推广至非紧致黎曼流形上修正的经验测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $t \to \infty$ 时，紧致黎曼流形上扩散过程的经验测度与不变测度之间期望平方 Wasserstein 距离 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 的渐近行为是什么？
• RQ2 流形的维数 $d$ 如何影响经验测度以 Wasserstein 距离收敛到不变测度的速率？
• RQ3 在长时间极限下，重标度 Wasserstein 距离的中心极限定理在何种条件下成立？
• RQ4 当维数 $d \geq 4$ 时，$\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 的主导阶渐近行为是什么？
• RQ5 谱公式与收敛结果能否推广至带或不带边界的非紧致黎曼流形？

主要发现

• 极限 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$ 对所有 $x \in M$ 一致成立，其中 $\lambda_i$ 为带 Neumann 边界条件的 $-L$ 的非平凡特征值。
• 该极限为有限值当且仅当维数 $d \leq 3$，表明收敛行为存在根本的维数依赖阈值。
• 当 $d \leq 3$ 时，中心极限定理成立：$\sup_{x \in M} \left| \mathbb{P}^x(t W_2(\mu_t, \mu)^2 < a) - \mathbb{P}\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2} < a \right) \right| \to 0$ 当 $t \to \infty$，其中 $\xi_k$ 为独立同分布的标准高斯变量。
• 当 $d \geq 4$ 时，$\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ 的主导阶渐近行为为 $t^{-2/(d-2)}$，量化了高维情形下更慢的收敛速度。
• 在适当几何与势函数条件下，谱公式与收敛结果被推广至一类带或不带边界的非紧致黎曼流形上的修正经验测度。
• 结果建立了生成元 $L$ 的谱性质、流形的几何结构与 Wasserstein 距离下经验测度长时间收敛速率之间的精确联系。