[论文解读] Asymptotic spreading of interacting species with multiple fronts II: Exponentially decaying initial data

Qian Liu, Shuang Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 50被引用 6

一句话总结

本文通过哈密顿-雅可比方法，针对初始数据呈指数衰减的Lotka-Volterra竞争-扩散系统中两种相互作用物种，建立了精确的传播速度。通过证明一种针对具有分段Lipschitz哈密顿量的不连续粘性解的新比较原理，作者推导出传播速度的显式公式，揭示了较慢物种的速度可由初始衰减速率非局部决定，从而解决了Shigesanda的猜想，并扩展了Tang与Fife以及Girardin与Lam的研究成果。

ABSTRACT

This is part two of our study on the spreading properties of the Lotka-Volterra competition-diffusion systems with a stable coexistence state. We focus on the case when the initial data are exponential decaying. By establishing a comparison principle for Hamilton-Jacobi equations, we are able to apply the Hamilton-Jacobi approach for Fisher-KPP equation due to Freidlin, Evans and Souganidis. As a result, the exact formulas of spreading speeds and their dependence on initial data are derived. Our results indicate that sometimes the spreading speed of the slower species is nonlocally determined. Connections of our results with the traveling profile due to Tang and Fife, as well as the more recent spreading result of Girardin and Lam, will be discussed.

研究动机与目标

• 确定在初始数据在无穷远处呈指数衰减时，扩散型Lotka-Volterra系统中两种竞争物种的渐近传播速度。
• 解决Shigesanda关于传播速度对初始数据轮廓的非局部依赖性的猜想。
• 将先前仅适用于紧支集初始数据的哈密顿-雅可比方法，推广至指数衰减初始条件的情形。
• 建立适用于具有分段Lipschitz哈密顿量的不连续粘性解的一般比较原理，从而实现对大偏差的精确估计。

提出的方法

• 通过抛物型PDE系统的薄前缘极限，推导出哈密顿-雅可比形式化，将传播问题转化为粘性解框架。
• 针对与分段Lipschitz哈密顿量相关的不连续粘性解，证明了一种新的比较原理，结合了Ishii与Tourin的思想。
• 构造显式的分段线性上解与下解，以获得解$(u,v)$的大偏差估计，从而实现对传播速度的精确边界。
• 该方法依赖于粘性解理论与作用泛函最小化，将Freidlin-Evans-Souganidis方法推广至非紧支集初始数据。
• 通过区分$u$与$v$的初始衰减速率$\lambda_u$、$\lambda_v^+$、$\lambda_v^-$，分析其传播行为，并推导出依赖于这些速率的速度公式。
• 通过与Tang与Fife的已知行波解以及Girardin与Lam的近期传播结果相联系，验证了理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩散型Lotka-Volterra系统中，指数衰减的初始数据如何影响竞争物种的传播速度？
• RQ2 较慢物种的传播速度是否可由初始衰减轮廓非局部决定，而非仅由局部动力学决定？
• RQ3 传播速度对初始衰减速率$\lambda_u$、$\lambda_v^+$与$\lambda_v^-$的精确依赖关系为何？
• RQ4 具有不连续粘性解的哈密顿-雅可比方法如何实现对非紧支集初始数据的精确传播速度计算？
• RQ5 本研究结果在多大程度上可推广或与Tang与Fife的行波解以及Girardin与Lam的传播结果相协调？

主要发现

• 物种$u$的传播速度为$\overline{c}_1 = \sup_{\lambda > 0} \left\{ \lambda + \sqrt{4(1 - a + \lambda)} \right\}$，其中$\lambda$为$u$的初始衰减速率，明确显示出对初始数据的依赖性。
• 物种$v$的传播速度为非局部决定：$\overline{c}_2 = \sup_{\lambda > 0} \left\{ \lambda + \sqrt{4d(r(1 - b) + \lambda)} \right\}$，其中$\lambda$与$+\infty$处的衰减速率相关，表明存在非局部影响。
• 在$0 < a < 1 < b$的情形下，本文确认了Girardin与Lam推导出的传播速度，与他们的近期结果保持一致。
• 建立了适用于具有分段Lipschitz哈密顿量的不连续粘性解的一般比较原理，从而实现了对非紧支集初始数据的严格分析。
• 结果证实了Shigesanda的猜想：传播速度可依赖于初始数据的全局结构，而不仅依赖于局部动力学。
• 在$u$在$+\infty$处呈指数衰减，且$v$在$+\infty$与$-\infty$均衰减的情形下，传播速度由多个衰减速率的相互作用决定，导致非平凡的速度公式。