[论文解读] Asymptotic spreading speed for the weak competition system with a free boundary

Zhiguo Wang, Hua Nie+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文研究了一个具有自由边界（模拟新物种入侵本地竞争者栖息地）的扩散Lotka-Volterra竞争系统。它建立了入侵物种的扩散-灭绝二分法，并证明在弱竞争条件下（k < 1, h < 1），成功扩散将导致在正稳态 (u*, v*) 处共存，且渐近扩散速度由一组行波方程确定。

ABSTRACT

This paper is concerned with a diffusive Lotka-Volterra type competition system with a free boundary in one space dimension. Such a system may be used to describe the invasion of a new species into the habitat of a native competitor. We show that the longtime dynamical behavior of the system is determined by a spreading-vanishing dichotomy, and provide sharp criteria for spreading and vanishing of the invasive species. Moreover, we determine the asymptotic spreading speed of the invasive species when its spreading is successful, which involves two systems of traveling wave type equations, and is highly nontrivial to establish.

研究动机与目标

• 分析具有自由边界（代表物种入侵）的扩散Lotka-Volterra竞争系统的长期动力学行为。
• 在弱竞争条件（k < 1, h < 1）下，为入侵物种建立扩散-灭绝二分法。
• 当扩散发生时，确定入侵物种的渐近扩散速度，由于与本地物种的耦合，该速度的确定具有非平凡性。
• 证明在弱竞争条件下，若入侵成功，本地物种将存活，且两物种种群将收敛至共存稳态 (u*, v*)。
• 通过行波型方程组严格推导扩散速度，扩展了先前在弱-强竞争情形下的结果。

提出的方法

• 为具有Neumann边界条件和Santef-type移动边界的双种竞争系统构建自由边界问题。
• 通过无量纲化将系统简化为标准形式，其中参数k和h分别表示种间与种内竞争强度。
• 应用单调迭代理论与Schauder不动点定理，构造关联行波系统的解。
• 采用加权Hölder空间与先验估计，证明行波方程解的存在性与正则性。
• 分析解在无穷远处的渐近行为，并利用比较原理建立单调性及收敛至平衡态的性质。
• 通过求解自由边界系统长期行为导出的耦合行波方程组，建立扩散速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在具有自由边界的本地竞争者时，入侵物种在何种条件下会扩散或灭绝？
• RQ2 在弱竞争范围内，入侵物种的渐近扩散速度如何依赖于竞争参数k与h？
• RQ3 当入侵物种成功扩散时，两物种的长期共存行为如何？
• RQ4 扩散速度能否由一组行波方程刻画？与弱-强竞争情形有何不同？
• RQ5 自由边界动力学在决定物种竞争最终结果中起何种作用？

主要发现

• 即使在弱竞争情形（k < 1, h < 1）下，入侵物种仍满足扩散-灭绝二分法，扩展了先前在弱-强竞争情形下的结果。
• 当扩散发生时，两物种收敛至共存稳态 (u*, v*) = ((1−k)/(1−hk), (1−h)/(1−hk))，该稳态在给定条件下为正且稳定。
• 入侵物种的渐近扩散速度由一组行波方程确定，且在扩散发生时该速度严格为正。
• 扩散速度并非由单一的行波决定，而是由涉及两个物种的耦合方程组决定，反映了共存动力学的特性。
• 在弱竞争情形下，本地物种v始终在入侵中存活，与弱-强竞争情形中当u扩散时v灭绝的情况形成对比。
• 通过加权Hölder空间中的不动点方法与比较技术，严格证明了正扩散速度的存在性。