[论文解读] Asymptotic state lumping in transport and diffusion problems on networks

Jacek Banasiak, Aleksandra Falkiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文提出了一套严格的渐近框架，用于将网络上详细的微观尺度输运与扩散模型聚合为简化的宏观尺度模型，证明了在边上的快速内部动力学（扩散/输运）与节点间缓慢的交换相结合时，解会收敛到由常微分方程控制的简化系统。关键贡献在于证明了聚合后的动力学在渐近意义上与原始宏观模型一致，且通过极限中的稳定分布向量保持了网络结构。

ABSTRACT

One of the aims of systems biology is to build multiple layered and multiple scale models of living systems which can efficiently describe phenomena occurring at various level of resolution. Such models should consist of layers of various microsystems interconnected by a network of pathways, to form a macrosystem in a consistent way; that is, the observable characteristics of the macrosystem should be, at least asymptotically, derivable by aggregation of the appropriate features of the microsystems forming it, and from the properties of the network. In this paper we consider a general macromodel describing a population consisting of several interacting with each other subgroups, with the rules of interactions given by a system of ordinary differential equations, and we construct two different micromodels whose aggregated dynamics is approximately the same as that of the original macromodel. The micromodels offer a more detailed description of the original macromodel's dynamics by considering an internal structure of each subgroup. Here, each subgroup is represented by an edge of a graph with diffusion or transport occurring along it, while the interactions between the edges are described by interface conditions at the nodes joining them. We prove that with an appropriate scaling of such models, roughly speaking, with fast diffusion or transport combined with slow exchange at the nodes, the solutions of the micromodels are close to the solution to the macromodel.

研究动机与目标

• 开发一种数学框架，将网络上详细的微观尺度模型聚合为简化的宏观尺度模型。
• 解决系统生物学中不同过程在截然不同的时间尺度上发生所带来的挑战。
• 证明边上的快速内部动力学可导致状态的有效聚合，且在极限中保持网络结构。
• 确立具有内部结构的微观模型收敛到宏观尺度常微分方程系统的条件。
• 在图论背景下形式化‘渐近状态聚合’的概念。

提出的方法

• 将宏观系统建模为描述跨相互连接子群的种群动态的常微分方程组。
• 构建微观模型，其中每个子群在图中表示为一条边，每条边上的输运或扩散动力学由偏微分方程控制。
• 引入一个小型参数 ǫ 来缩放节点间交换的速率，假设其远慢于边上的内部动力学。
• 使用半群理论和谱分析研究微观模型的长期行为。
• 应用渐近分析，证明微观模型解在慢流形上的投影在 ǫ → 0 时收敛到宏观常微分方程的解。
• 利用 Perron-Frobenius 理论刻画稳定分布向量 N，其编码了每条边上质量的渐近比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有内部结构的网络微观模型会收敛到简化的宏观常微分方程模型？
• RQ2 尽管内部状态被聚合，网络拓扑结构在渐近极限中如何得以保持？
• RQ3 转移矩阵 K 的 Perron 特征向量在渐近聚合过程中起什么作用？
• RQ4 当节点间交换缓慢时，边上的输运与扩散过程能否有效聚合为单一宏观常微分方程系统？
• RQ5 初始层行为如何影响微观模型解向宏观解的收敛性？

主要发现

• 当 ǫ → 0 时，微观模型解在慢流形上的投影收敛到宏观常微分方程系统的解。
• 网络上质量的渐近分布由转移矩阵 K 的 Perron 特征向量 N 决定，其编码了稳定的斑块分布。
• 通过系数 µ∗ 和 β∗ 保留了原始网络结构影响的聚合宏观模型（85）是斑块特定速率的加权平均。
• 微观模型中的初始层行为不呈指数衰减，表明瞬态动力学是非平凡的，必须在渐近分析中予以考虑。
• 通过边上输运或扩散构建的微观模型，其渐近宏观动力学与原始常微分方程系统一致，验证了聚合过程的有效性。
• 收敛性通过半群理论和谱分析建立，表明慢动力学由投影算子 P 的核所控制。