[论文解读] Asymptotic symmetry and local behavior of solutions of higher order conformally invariant equations with isolated singularities

Tianling Jin, Jingang Xiong|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用 13

一句话总结

该论文为有界域中具有孤立奇点的高阶共形不变方程的正解建立了精确的爆破速率和渐近径向对称性。通过局部积分方程的爆破分析，将Caffarelli-Gidas-Spruck定理推广至高阶方程，证明了在孤立奇点附近，解的行为类似于Fowler解，具有精确的衰减速率和径向对称性，仅含低阶误差项。

ABSTRACT

We prove sharp blow up rates of solutions of higher order conformally invariant equations in a bounded domain with an isolated singularity, and show the asymptotic radial symmetry of the solutions near the singularity. This is an extension of the celebrated theorem of Caffarelli-Gidas-Spruck for the second order Yamabe equation with isolated singularities to higher order equations. Our approach uses blow up analysis for local integral equations, and is unified for all critical elliptic equations of order smaller than the dimension. We also prove the existence of Fowler solutions to the global equations, and establish a sup*inf type Harnack inequality of Schoen for integral equations.

研究动机与目标

• 将经典的Caffarelli-Gidas-Spruck定理从二阶Yamabe方程的渐近对称性和爆破速率推广至高阶共形不变方程。
• 在有界域中孤立奇点附近，建立正解爆破速率的精确上界与下界。
• 证明在孤立奇点附近，解表现出渐近径向对称性，仅含低阶误差项。
• 证明全局高阶方程存在Fowler型解，并为积分方程建立sup*inf型Harnack不等式。
• 通过基于积分方程与爆破技术的统一框架，统一分析所有阶数小于维数的临界椭圆方程。

提出的方法

• 采用局部积分方程的爆破分析方法，研究解在孤立奇点附近的性质。
• 利用Kelvin变换保持共形不变性，并分析在反演变换下解的结构。
• 在迭代拉普拉斯算子的符号条件约束下，应用最大值原理与移动平面法，确保径向对称性。
• 通过与模型解（Fowler解）比较及球面对称平均，推导出精确的衰减估计。
• 通过精确估计格林函数与边界层行为，建立Schoen型的sup*inf Harnack不等式于积分方程。
• 结合积分估计与移动平面法，证明解在奇点附近的径向对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界域中，具有孤立奇点的高阶共形不变方程的正解的精确爆破速率是什么？
• RQ2 对于高阶方程，解在孤立奇点附近的渐近径向对称性在超越二阶情形下能保持到何种程度？
• RQ3 能否为全局高阶共形不变方程构造Fowler解，其在表征奇异性行为中起什么作用？
• RQ4 如何为源自高阶共形不变方程的积分方程建立sup*inf型Harnack不等式？
• RQ5 在奇点附近，迭代拉普拉斯算子的符号假设在何种条件下成立，它们如何影响解的结构？

主要发现

• 在 $B_1 \setminus \{0\}$ 中，方程 $(-\triangle)^m u = u^{(n+2m)/(n-2m)}$ 的解满足精确估计：$C^{-1}|x|^{-(n-2m)/2} \leq u(x) \leq C|x|^{-(n-2m)/2}$，在原点附近成立。
• 解表现出渐近径向对称性：当 $x \to 0$ 时，$u(x) = \bar{u}(|x|)(1 + O(|x|))$，其中 $\bar{u}$ 为球面对称平均。
• 对于不可去奇点，存在一个Fowler解 $u^*$，使得对某个 $\alpha > 0$，有 $u(x) = u^*(|x|)(1 + O(|x|^{\alpha}))$。
• 在给定假设下，符号条件 $(-\triangle)^k u \geq 0$ 对 $k=1,\dots,m-1$ 在奇点的穿孔邻域内保持不变。
• 为方程的积分形式建立了Schoen型的sup*inf型Harnack不等式。
• 该分析可统一适用于所有阶数小于维数的临界椭圆方程，为高阶共形不变方程提供了统一的分析框架。