[论文解读] Asymptotically compatible energy of variable-step fractional BDF2 formula for time-fractional Cahn-Hilliard model

Hong-lin Liao, Nan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2022

Fractional Differential Equations Solutions被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对具有 Caputo 导数（阶数 $α \in (0,1)$）的时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型的变步长分数阶 BDF2 格式，通过分数阶 BDF2 公式的局部-非局部分解引入了一种类梯度结构。该方法在弱步长比约束下建立了离散能量耗散律，并证明了当 $α \to 1^{-}$ 时与经典 Cahn-Hilliard 能量律的渐近相容性，确保了自适应时间步长下长期稳定性和精度。

ABSTRACT

A new discrete energy dissipation law of the variable-step fractional BDF2 (second-order backward differentiation formula) scheme is established for time-fractional Cahn-Hilliard model with the Caputo's fractional derivative of order $α\in(0,1)$, under a weak step-ratio constraint $0.4753\le τ_k/τ_{k-1}

研究动机与目标

• 开发一种针对一般非均匀时间网格的时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型的稳定、二阶时间离散格式。
• 建立一种离散能量耗散律，以在变步长下保持物理能量衰减特性。
• 确保当 $\alpha \to 1^{-}$ 时与经典 Cahn-Hilliard 能量律的渐近相容性。
• 通过自适应时间步长策略实现高效长时模拟，以捕捉 $t=0$ 附近的快速动力学与后期粗化阶段。

提出的方法

• 对分数阶 BDF2 公式进行局部-非局部分解，将其分离为类似于经典两步向后差分的局部部分与类似于 Caputo 导数 L1 公式的非局部部分。
• 基于此分解构造一种新颖的离散梯度结构，以推导出一致且稳定的能量耗散律。
• 推导出弱步长比约束 $0.4753 \leq \tau_k / \tau_{k-1} < r^*(\alpha)$，其中 $r^*(\alpha) \geq 4.660$，以保证稳定性和能量衰减。
• 采用 $\tau_{\text{ada}} = \max\{\tau_{\min}, \tau_{\max}/\Pi_\phi\}$ 的自适应时间步长策略，其中 $\Pi_\phi = \sqrt{1 + \eta \|\partial_\tau \phi^n\|^2}$，以解析初始奇点与动态变化。
• 使用 $128 \times 128$ 网格的傅里叶伪谱空间离散化与 SOE 技术，以高效计算分数阶 BDF2 公式，其中 $\varepsilon = 10^{-12}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种二阶变步长分数阶 BDF2 格式，使其在时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型下保持离散能量耗散律？
• RQ2 当 $\alpha \to 1^{-}$ 时，离散能量律是否仍与经典 Cahn-Hilliard 能量耗散律保持渐近相容性？
• RQ3 该格式在 graded 和自适应网格上能否保持最优时间精度 $O(\tau^{\min\{\gamma, 3 - \alpha\}})$？
• RQ4 自适应时间步长策略在解析初始奇点与长时粗化动力学方面是否有效？

主要发现

• 所提出的变步长分数阶 BDF2 格式在 graded 和自适应网格上实现了二阶时间精度 $O(\tau^{\min\{\gamma, 3 - \alpha\}})$，数值结果验证了 $\alpha = 0.4$ 和 $\alpha = 0.7$ 的情形。
• 在弱步长比约束 $0.4753 \leq \tau_k / \tau_{k-1} < r^*(\alpha)$ 下建立了新的离散能量耗散律，其中 $r^*(\alpha) \geq 4.660$ 对于 $\alpha \in (0,1)$ 成立。
• 离散能量及其耗散律在 $α \to 1^{-}$ 时与经典 Cahn-Hilliard 模型渐近相容，确保了整数阶极限下的一致性。
• 采用 $\eta = 10^3$ 的自适应时间步长策略成功捕捉了早期阶段的快速能量衰减与长时间尺度下的粗化动力学，时间步长动态响应于解的梯度变化。
• 数值结果表明，粗化速率与相变演化显著受 $\alpha$ 的影响，当 $\alpha \to 1^{-}$ 时，动力学趋近经典 $O(t^{-1/3})$ 速率。