[论文解读] Asymptotically compatible reproducing kernel collocation and meshfree integration for nonlocal diffusion

Yu Leng, Xiaochuan Tian+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于具有狄利克雷边界条件的非局部扩散问题的渐近相容径向基（RK）配置方法，结合通过准离散非局部算子实现的无网格积分，以降低计算成本。该格式在δ和网格尺寸h耦合时，仍被证明是稳定的，并且收敛于非局部和局部扩散极限，2D数值实验验证了收敛性。

ABSTRACT

Reproducing kernel (RK) approximations are meshfree methods that construct shape functions from sets of scattered data. We present an asymptotically compatible (AC) RK collocation method for nonlocal diffusion models with Dirichlet boundary condition. The scheme is shown to be convergent to both nonlocal diffusion and its corresponding local limit as nonlocal interaction vanishes. The analysis is carried out on a special family of rectilinear Cartesian grids for linear RK method with designed kernel support. The key idea for the stability of the RK collocation scheme is to compare the collocation scheme with the standard Galerkin scheme which is stable. In addition, there is a large computational cost for assembling the stiffness matrix of the nonlocal problem because high order Gaussian quadrature is usually needed to evaluate the integral. We thus provide a remedy to the problem by introducing a quasi-discrete nonlocal diffusion operator for which no numerical quadrature is further needed after applying the RK collocation scheme. The quasi-discrete nonlocal diffusion operator combined with RK collocation is shown to be convergent to the correct local diffusion problem by taking the limits of nonlocal interaction and spatial resolution simultaneously. The theoretical results are then validated with numerical experiments. We additionally illustrate a connection between the proposed technique and an existing optimization based approach based on generalized moving least squares (GMLS).

研究动机与目标

• 开发一种针对具有狄利克雷边界条件的非局部扩散问题的稳定且收敛的无网格配置方法。
• 确保在δ固定时收敛于非局部解，且在δ → 0时收敛于其局部极限，且与网格尺寸h无关。
• 通过用无网格积分技术替代高阶积分，降低组装非局部刚度矩阵的计算成本。
• 统一无网格粒子法（RKPM）与广义移动最小二乘法（GMLS）以计算积分权重。
• 通过与已知稳定的伽辽金公式进行比较，建立配置格式的理论稳定性。

提出的方法

• 在结构化笛卡尔网格上提出一种线性径向基（RK）配置方法，其核支撑设计确保渐近相容性。
• 通过与稳定伽辽金格式的比较论证，证明配置方法的稳定性。
• 引入一种准离散非局部扩散算子，将积分算子替换为在每个作用域内固定数量积分点的求和。
• 通过多项式重构条件计算积分权重，确保在对称点分布下保持正值，从而支持稳定性。
• 将RK配置与准离散算子结合，实现在δ与h同时变化时收敛于正确的局部极限。
• 采用每节点固定数量积分点的无网格积分，与标准高斯积分相比显著降低积分成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明一种径向基配置方法在具有狄利克雷条件的非局部扩散问题中是稳定且收敛的？
• RQ2 当δ与h耦合时，该配置格式是否仍能收敛于非局部解（δ固定）和局部极限（δ → 0）？
• RQ3 能否通过无网格积分构造一种准离散非局部算子，以消除对高阶积分的需求，同时保持收敛性？
• RQ4 从RKPM和GMLS导出的积分权重如何比较？能否使其为正以确保稳定性？
• RQ5 在δ与h变化时，RK配置与无网格积分结合格式的收敛行为如何？

主要发现

• 通过与稳定伽辽金格式的比较，利用RK近似和网格结构的性质，证明了RK配置方法的稳定性。
• 该方法在δ固定时收敛于非局部解，在δ → 0时收敛于局部扩散极限，且与δ和h_max的耦合无关。
• 通过无网格积分与多项式重构构建的准离散非局部算子，实现在δ与h同时变化时收敛于正确的局部极限。
• 2D数值实验验证了理论收敛速率：当通过精确施加（备注7.1 i）边界条件时，达到最优收敛阶。
• 当通过弱施加（备注7.1 ii）边界条件时，观测到较低的收敛速率，与非局部边界处理中已知挑战一致。
• 无网格积分技术通过将昂贵的双重积分替换为稀疏求和，仅使用每节点少量固定数量的积分点，显著降低了计算成本。