[论文解读] Asymptotically Efficient Quantum Karatsuba Multiplication

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出了一种量子Karatsuba乘法算法，实现了最优的O(n)空间复杂度，同时保持了经典算法的O(n^{lg 3})门复杂度。通过重构递归调用，直接修改输出寄存器的对应部分——类似于经典语言中的尾调用优化——该方法消除了对中间结果存储和逆计算的需求，从而在不引起空间爆炸的情况下实现渐近高效的量子乘法。

ABSTRACT

We improve the space complexity of Karatsuba multiplication on a quantum computer from $O(n^{1.427})$ to $O(n)$ while maintaining $O(n^{\lg 3})$ gate complexity. We achieve this by ensuring recursive calls can add their outputs directly into subsections of the output register. This avoids the need to store, and uncompute, intermediate results. This optimization, which is analogous to classical tail-call optimization, should be applicable to a wide range of recursive quantum algorithms.

研究动机与目标

• 解决在量子计算机上实现类似Karatsuba乘法这类不可逆的经典递归算法时，因过度消耗空间或时间而导致的挑战。
• 克服先前量子实现中的空间复杂度瓶颈，这些实现由于需要存储和逆计算中间结果，导致空间复杂度达到O(n^{1.427})。
• 在量子Karatsuba乘法中实现线性空间复杂度O(n)，同时保持与经典算法相同的渐近门数。
• 展示一种可推广的技术，通过允许直接修改输出寄存器部分，优化量子递归算法，类似于经典语言中的尾调用优化。

提出的方法

• 重写Karatsuba乘法，将乘积表示为缩放后递归子积的和：t += (ax)(1 - 2^{wh}) + (a+b)(x+y)(2^{wh}) + (by)(2^{wh})(2^{wh} - 1)。
• 重新组织递归调用，使每个结果直接累加到输出寄存器的指定子部分，避免中间存储。
• 在小输入时使用基础乘法（schoolbook乘法），确保由于基础情况中的字长w'较小，空间使用保持在O(n)。
• 采用深度对数的加法器，并行执行基础情况，以在保持线性空间使用的同时降低深度。
• 设计算法使得递归子程序无需被逆计算，因为其输出已直接写入输出寄存器。
• 通过Q#和Python实现验证该构造，利用Q#的追踪模拟器获取资源计数，以确认正确性和性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在保持经典算法O(n^{lg 3})门复杂度的前提下，实现O(n)空间复杂度的量子Karatsuba乘法？
• RQ2 是否可以通过直接修改输出寄存器部分，消除递归量子算法中的中间存储和逆计算？
• RQ3 所提出的内联变异技术在空间和时间复杂度方面与先前方法相比如何？
• RQ4 该方法是否可推广至乘法以外的其他递归量子算法？
• RQ5 在Toffoli门数量方面，量子Karatsuba乘法在多大程度上优于基础乘法？

主要发现

• 所提算法实现了O(n)空间复杂度，优于Parent等人[4]提出的O(n^{1.427})空间上限。
• 门复杂度仍为O(n^{lg 3})，与经典Karatsuba算法一致，保持了渐近效率。
• Q#实现中的Toffoli门数量与先前工作大致相当，证实该优化未增加门数。
• 基于仿真结果，当输入位数约为10,000时，Karatsuba算法开始优于基础乘法。
• 改进构造的时空体积为O(n^{lg 3} lg^2 n)，优于早期工作的O(n^{1+lg 3})时空体积。
• 在递归调用中直接修改输出的技巧被证明是量子递归算法的一般性优化方法，类似于经典语言中的尾调用优化。